Calcule a derivadas das funções:
h(x)=\int_{0}^{\cos (x)} e^{t^{2}} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
h(x)=\displaystyle\int_{0}^{\cos(x)} e^{t^{2}}\,dt.
Informações dadas: a integral é definida com limite inferior fixo 0 e limite superior dependente de x, sendo esse limite \cos(x). O integrando é a função t\mapsto e^{t^{2}}.

Passo 2

Lembra do Teorema Fundamental do Cálculo (parte prática que usamos aqui)? Ele diz o seguinte, de forma essencial e útil para provas: se F(u)=\displaystyle\int_{a}^{u} f(t)\,dt com f contínua, então
F'(u)=f(u).
Isto significa que a derivada da função "área até u" é simplesmente o valor do integrando no ponto u. Isso vale quando o limite superior é a própria variável (ou quando escrevemos uma função intermediária que depende de x).

Passo 3

Vamos usar uma estratégia comum: definir uma função intermediária que transforma a integral num caso direto do teorema. Defina
F(u)=\int_{0}^{u} e^{t^{2}}\,dt.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, como t\mapsto e^{t^{2}} é contínua, temos
F'(u)=e^{u^{2}}.

Passo 4

A nossa h pode ser escrita em termos de F como composição:
h(x)=F\big(\cos(x)\big).
Portanto, para achar h'(x) vamos aplicar a regra da cadeia (chain rule). A regra da cadeia diz que se h(x)=F(g(x)) então
h'(x)=F'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).
Aqui g(x)=\cos(x). Logo precisamos de g'(x).

Passo 5

Calcule g'(x): a derivada de \cos(x) é -\sin(x). Assim,
g'(x)=-\sin(x).
Agora aplicando a regra da cadeia com F'(u)=e^{u^{2}} e u=g(x)=\cos(x),
h'(x)=F'\big(\cos(x)\big)\cdot(-\sin(x)) = e^{(\cos(x))^{2}}\cdot(-\sin(x)).

Passo 6

Simplificando a escrita, a derivada final fica
h'(x)=-\sin(x)\,e^{\cos^{2}(x)}.
Observação didática: não foi necessário conhecer uma primitiva elementar de e^{t^{2}} (que na verdade não existe em forma elementar). Bastou usar o Teorema Fundamental do Cálculo para a primitiva definida F(u)=\int_{0}^{u} e^{t^{2}}dt e depois a regra da cadeia. Um exemplo parecido: se k(x)=\int_{0}^{x^{2}} \cos t\,dt, então k'(x)=\cos(x^{2})\cdot 2x — mesma ideia.

Resposta

-\sin(x)\,e^{\cos^{2}(x)}

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