Calcule a derivadas das funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
.
Informações dadas: a integral é definida com limite inferior fixo e limite superior dependente de
, sendo esse limite
. O integrando é a função
.
Informações dadas: a integral é definida com limite inferior fixo
Passo 2
Lembra do Teorema Fundamental do Cálculo (parte prática que usamos aqui)? Ele diz o seguinte, de forma essencial e útil para provas: se
com
contínua, então
Isto significa que a derivada da função "área até
" é simplesmente o valor do integrando no ponto
. Isso vale quando o limite superior é a própria variável (ou quando escrevemos uma função intermediária que depende de
).
Passo 3
Vamos usar uma estratégia comum: definir uma função intermediária que transforma a integral num caso direto do teorema. Defina
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, como
é contínua, temos
Passo 4
A nossa
pode ser escrita em termos de
como composição:
Portanto, para achar
vamos aplicar a regra da cadeia (chain rule). A regra da cadeia diz que se
então
Aqui
. Logo precisamos de
.
Passo 5
Calcule
: a derivada de
é
. Assim,
Agora aplicando a regra da cadeia com
e
,
Passo 6
Simplificando a escrita, a derivada final fica
Observação didática: não foi necessário conhecer uma primitiva elementar de
(que na verdade não existe em forma elementar). Bastou usar o Teorema Fundamental do Cálculo para a primitiva definida
e depois a regra da cadeia. Um exemplo parecido: se
, então
— mesma ideia.