Calcule a derivadas das funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada
.
Informações relevantes fornecidas:
- A integranda é
. - O limite superior da integral é
(constante). - O limite inferior da integral é
(variável). - A função
está definida e é contínua para . Portanto a integral é bem definida sempre que o intervalo entre e esteja contido em , isto é, para .
Passo 2
Apresentar a regra que será usada (Teorema Fundamental do Cálculo / regra das limites dependentes):
Seja
com
contínua e
diferenciáveis. Então vale a fórmula de diferenciação
Aqui
é a função integranda;
é o limite inferior;
é o limite superior;
e
são as derivadas desses limites em relação a
.
Essa fórmula pode ser entendida de maneira intuitiva: ao variar
altera-se o valor acumulado da integral através da mudança do intervalo de integração — a contribuição do limite superior entra com sinal positivo e a do limite inferior com sinal negativo.
Passo 3
Aplicar a fórmula ao nosso caso.
Identificamos:
Calculamos as derivadas dos limites:
Substituindo na fórmula:
Portanto
Passo 4
Verificação alternativa (útil para entender melhor): calcular uma primitiva de
e derivar o resultado explícito.
Calcular
por integração por partes.
Escolhendo e
temos
e
. Então
Escolhendo
Avaliar de
a
:
Derivando em relação a
:
(resultado consistente com o passo anterior).
Passo 5
Observações finais sobre domínio e continuidade:
- A expressão
é válida para todo , que é o domínio onde é contínua no intervalo entre e . - A derivada é bem definida e contínua em
.