Calcule a derivadas das funções:
h(x)=\int_{x}^{2} \ln (t) d t

Passo 1

O enunciado dá a função
h(x)=\int_{x}^{2} \ln(t)\,dt
e pede para calcular a derivada h'(x).
Informações relevantes fornecidas:
  • A integranda é \ln(t).
  • O limite superior da integral é 2 (constante).
  • O limite inferior da integral é x (variável).
  • A função \ln(t) está definida e é contínua para t>0. Portanto a integral é bem definida sempre que o intervalo entre x e 2 esteja contido em (0,\infty), isto é, para x>0.

Passo 2

Apresentar a regra que será usada (Teorema Fundamental do Cálculo / regra das limites dependentes):
Seja F(x)=\displaystyle\int_{u(x)}^{v(x)} f(t)\,dt com f contínua e u,v diferenciáveis. Então vale a fórmula de diferenciação
F'(x)=f\big(v(x)\big)\,v'(x)-f\big(u(x)\big)\,u'(x).
Aqui f(t) é a função integranda; u(x) é o limite inferior; v(x) é o limite superior; u'(x) e v'(x) são as derivadas desses limites em relação a x.
Essa fórmula pode ser entendida de maneira intuitiva: ao variar x altera-se o valor acumulado da integral através da mudança do intervalo de integração — a contribuição do limite superior entra com sinal positivo e a do limite inferior com sinal negativo.

Passo 3

Aplicar a fórmula ao nosso caso.
Identificamos:
f(t)=\ln(t),\qquad u(x)=x,\qquad v(x)=2.
Calculamos as derivadas dos limites:
u'(x)=\frac{d}{dx}x=1,\qquad v'(x)=\frac{d}{dx}2=0.
Substituindo na fórmula:
h'(x)=f\big(v(x)\big)\,v'(x)-f\big(u(x)\big)\,u'(x) = \ln(2)\cdot 0 - \ln(x)\cdot 1.
Portanto
h'(x)=-\ln(x).

Passo 4

Verificação alternativa (útil para entender melhor): calcular uma primitiva de \ln(t) e derivar o resultado explícito.
Calcular \displaystyle\int \ln(t)\,dt por integração por partes.
Escolhendo u=\ln(t) e dv=dt temos du=\dfrac{1}{t}\,dt e v=t. Então
\int \ln(t)\,dt = t\ln(t)-\int t\cdot\frac{1}{t}\,dt = t\ln(t)-\int 1\,dt = t\ln(t)-t + C.
Avaliar de x a 2:
h(x)=\big[ t\ln(t)-t \big]_{t=x}^{t=2} = \big(2\ln(2)-2\big) - \big(x\ln(x)-x\big).
Derivando em relação a x:
h'(x)=0 - \big(\ln(x)+1 - 1\big) = -\ln(x).
(resultado consistente com o passo anterior).

Passo 5

Observações finais sobre domínio e continuidade:
  • A expressão h'(x)=-\ln(x) é válida para todo x>0, que é o domínio onde \ln(t) é contínua no intervalo entre x e 2.
  • A derivada é bem definida e contínua em (0,\infty).

Resposta

h'(x)=-\ln(x),\; x>0

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