Calcule as derivadas das funções (produto e quociente):
f(x)=(6 x-1) \cdot(2-5 x)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=(6x-1)\cdot(2-5x) e pede para calcular a derivada f'(x).
Informações relevantes: a função é produto de duas expressões lineares \,6x-1 e \,2-5x. Não há mais nada a obter do enunciado.

Passo 2

Regra que vamos usar (produto): se f(x)=u(x)\cdot v(x), então
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Explicação simples: a derivada do produto combina a taxa de variação de cada fator mantendo o outro fator como “peso”.
Também é útil lembrar que a derivada de uma função linear \,ax+b é simplesmente a, porque a inclinação da reta é a.

Passo 3

Identificamos os fatores e calculamos suas derivadas:
u(x)=6x-1 \quad\Rightarrow\quad u'(x)=6,
v(x)=2-5x \quad\Rightarrow\quad v'(x)=-5.
Motivo: para u(x)=6x-1 a constante multiplicadora de x é 6, então u'(x)=6. Para v(x)=2-5x a constante multiplicadora de x é -5, então v'(x)=-5.

Passo 4

Aplicando a regra do produto:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x)=6(2-5x)+(6x-1)(-5).
Agora desenvolvemos os produtos passo a passo:
6(2-5x)=12-30x,
(6x-1)(-5)=-30x+5.
Somando as duas parcelas:
f'(x)=(12-30x)+(-30x+5)=12+5-30x-30x=17-60x.
Portanto f'(x)=17-60x.

Passo 5

Verificação por outro método (expandir antes de derivar): expandindo
f(x)=(6x-1)(2-5x)=-30x^2+17x-2.
Derivando termo a termo (regra do poder: \frac{d}{dx}x^n= n x^{n-1}):
f'(x)=-60x+17,
que é a mesma expressão obtida antes. Boa — confirmação de que não houve erro.

Resposta

f'(x)=17-60x

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