Considere as seguintes funções:
\begin{array}{ll} f(x)=(2 x-3)^{4} & g(x)=\arctan 4 x \\\ h(x)=e^{x^{2}-2 x-8} & i(x)=\ln \left(x^{2}-30\right) \end{array}
Relacione as colunas de acordo com o valor da derivada:
( A ) f^{\prime}(2)
(B) g^{\prime}(0)
(C) h '(4)
( D ) i ’ (6)

Passo 1

O enunciado dá quatro funções e pede os valores das suas derivadas em pontos específicos. As funções são:
f(x)=(2x-3)^{4},\qquad g(x)=\arctan(4x),\qquad h(x)=e^{x^{2}-2x-8},\qquad i(x)=\ln\bigl(x^{2}-30\bigr).
As perguntas são:
(A) calcular f'(2)
(B) calcular g'(0)
(C) calcular h'(4)
(D) calcular i'(6)
Vamos resolver passo a passo cada derivada e avaliar no ponto pedido. Respira fundo — eu tô aqui com você, vamos devagar.

Passo 2

Regra que vamos usar para f: quando temos uma função composta do tipo f(x)=(u(x))^{n} com n inteiro, aplica-se a regra da cadeia combinando a regra do poder (power rule) com a derivada de u. A fórmula geral é
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)^{n}\bigr)=n\,u(x)^{\,n-1}\cdot u'(x),
onde u'(x) é a derivada de u em relação a x.
Aqui tome u(x)=2x-3 e n=4. Então u'(x)=2 e
f'(x)=4\,(2x-3)^{3}\cdot 2=8(2x-3)^{3}.
Agora avalio em x=2. Primeiro calculo o interior: 2\cdot2-3=1. Assim
f'(2)=8\cdot 1^{3}=8.

Passo 3

Regra para g: a derivada da função \arctan(u(x)) é dada pela regra da cadeia aplicada à derivada conhecida de \arctan. A fórmula é
\frac{d}{dx}\bigl(\arctan(u(x))\bigr)=\frac{u'(x)}{1+u(x)^{2}}.
Aqui u(x)=4x, logo u'(x)=4. Portanto
g'(x)=\frac{4}{1+(4x)^{2}}=\frac{4}{1+16x^{2}}.
Avalio em x=0:
g'(0)=\frac{4}{1+0}=4.

Passo 4

Regra para h: a derivada de e^{u(x)} usa a regra da cadeia combinada com a propriedade da exponencial. A fórmula é
\frac{d}{dx}\bigl(e^{u(x)}\bigr)=u'(x)\,e^{u(x)}.
Aqui u(x)=x^{2}-2x-8. Então u'(x)=2x-2. Logo
h'(x)=(2x-2)\,e^{x^{2}-2x-8}.
Agora avalio em x=4. Calculo u'(4)=2\cdot4-2=6. Calculo também o expoente: 4^{2}-2\cdot4-8=16-8-8=0, e e^{0}=1. Assim
h'(4)=6\cdot 1=6.

Passo 5

Regra para i: a derivada de \ln(u(x)) também usa a regra da cadeia. A fórmula é
\frac{d}{dx}\bigl(\ln(u(x))\bigr)=\frac{u'(x)}{u(x)},
desde que u(x) seja positivo no ponto considerado (aqui x=6 é válido pois 6^{2}-30=6>0). Tome u(x)=x^{2}-30, então u'(x)=2x. Assim
i'(x)=\frac{2x}{x^{2}-30}.
Avalio em x=6: o numerador é 2\cdot6=12 e o denominador é 6^{2}-30=36-30=6. Portanto
i'(6)=\frac{12}{6}=2.

Passo 6

Resumo numérico (já calculado passo a passo):
f'(2)=8,\qquad g'(0)=4,\qquad h'(4)=6,\qquad i'(6)=2.

Resposta

(A) 8
(B) 4
(C) 6
(D) 2

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