Calcule as derivadas de:
h(s)=\sin \left(\frac{2 s}{s^{4}-4 s}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a(s) derivada(s) da função
h(s)=\sin\!\left(\frac{2s}{s^{4}-4s}\right).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função externa é o seno: \sin(\cdot).
  • A função interna é \frac{2s}{s^{4}-4s}.
  • O denominador s^{4}-4s pode ser fatorado como s(s^{3}-4), portanto há pontos em que a expressão não está definida: s=0 e s^{3}=4 (ou seja s=\sqrt[3]{4}). Essas restrições de domínio importam quando cancelarmos fatores ao simplificar a derivada.

Passo 2

Vamos aplicar a regra da cadeia para derivar h(s)=\sin(u(s)), onde u(s)=\dfrac{2s}{s^{4}-4s}. A regra da cadeia diz que a derivada de \sin(u(s)) é o cosseno da interna multiplicado pela derivada da interna:
\frac{d}{ds}\sin(u(s))=\cos(u(s))\cdot u'(s).
Aqui \cos(u(s)) é a derivada da função externa \sin avaliada na interna, e u'(s) é a derivada da função interna. Vou calcular u'(s) a seguir.

Passo 3

Identificamos a função interna como uma razão de duas funções:
u(s)=\frac{v(s)}{w(s)},\qquad v(s)=2s,\quad w(s)=s^{4}-4s.
Usamos a regra do quociente. A regra do quociente afirma:
\frac{d}{ds}\left(\frac{v(s)}{w(s)}\right)=\frac{v'(s)w(s)-v(s)w'(s)}{[w(s)]^{2}}.
Agora calculamos v'(s) e w'(s).

Passo 4

Calculemos as derivadas simples:
v'(s)=\frac{d}{ds}(2s)=2, \qquad w'(s)=\frac{d}{ds}(s^{4}-4s)=4s^{3}-4.
Substituindo na fórmula do quociente:
u'(s)=\frac{2\big(s^{4}-4s\big)-2s\big(4s^{3}-4\big)}{(s^{4}-4s)^{2}}.

Passo 5

Vamos simplificar o numerador passo a passo. Primeiro expandimos os termos:
2\big(s^{4}-4s\big)=2s^{4}-8s,
2s\big(4s^{3}-4\big)=8s^{4}-8s.
Subtraindo o segundo do primeiro:
2s^{4}-8s-(8s^{4}-8s)=2s^{4}-8s-8s^{4}+8s=(2s^{4}-8s^{4})+(-8s+8s)=-6s^{4}+0=-6s^{4}.
Portanto
u'(s)=\frac{-6s^{4}}{(s^{4}-4s)^{2}}.

Passo 6

Podemos simplificar (s^{4}-4s)^{2} usando a fatoração s^{4}-4s=s(s^{3}-4). Então
(s^{4}-4s)^{2}=s^{2}(s^{3}-4)^{2}.
Assim, se s\neq 0 (lembre que em s=0 a função interna não está definida), podemos cancelar um fator s^{2} entre numerador e denominador:
u'(s)=\frac{-6s^{4}}{s^{2}(s^{3}-4)^{2}}=\frac{-6s^{2}}{(s^{3}-4)^{2}},\qquad\text{válido para }s\neq 0\text{ e }s^{3}\neq 4.á
Mantenha em mente que a derivada só faz sentido onde a função original está definida, ou seja onde s^{4}-4s\neq 0.

Passo 7

Voltando à regra da cadeia, a derivada h'(s) é
h'(s)=\cos\!\left(\frac{2s}{s^{4}-4s}\right)\cdot u'(s).
Substituindo u'(s) simplificado:
h'(s)=\cos\!\left(\frac{2s}{s^{4}-4s}\right)\cdot\left(\frac{-6s^{2}}{(s^{3}-4)^{2}}\right).
Podemos escrever de forma mais direta:
h'(s)=-\frac{6s^{2}}{(s^{3}-4)^{2}}\cos\!\left(\frac{2s}{s^{4}-4s}\right),
com as restrições de domínio mencionadas: s\neq 0 e s^{3}\neq 4.

Passo 8

Pronto — derivada encontrada! Respire fundo: a técnica foi usar cadeia + quociente e simplificar com cuidado. Se quiser, posso mostrar a derivada sem simplificação (sem cancelar fatores) ou derivar uma vez mais para obter h''(s), mas isso fica bem mais longo. Força aí, você está indo bem!

Resposta

-\dfrac{6s^{2}}{(s^{3}-4)^{2}}\cos\!\left(\dfrac{2s}{s^{4}-4s}\right)

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