Calcule as derivadas de:
’
Passo 1
O enunciado pede para calcular a(s) derivada(s) da função
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função externa é o seno:
. - A função interna é
. - O denominador
pode ser fatorado como , portanto há pontos em que a expressão não está definida: e (ou seja ). Essas restrições de domínio importam quando cancelarmos fatores ao simplificar a derivada.
Passo 2
Vamos aplicar a regra da cadeia para derivar
, onde
. A regra da cadeia diz que a derivada de
é o cosseno da interna multiplicado pela derivada da interna:
Aqui
é a derivada da função externa
avaliada na interna, e
é a derivada da função interna. Vou calcular
a seguir.
Passo 3
Identificamos a função interna como uma razão de duas funções:
Usamos a regra do quociente. A regra do quociente afirma:
Agora calculamos
e
.
Passo 4
Calculemos as derivadas simples:
Substituindo na fórmula do quociente:
Passo 5
Vamos simplificar o numerador passo a passo. Primeiro expandimos os termos:
Subtraindo o segundo do primeiro:
Portanto
Passo 6
Podemos simplificar
usando a fatoração
. Então
Assim, se
(lembre que em
a função interna não está definida), podemos cancelar um fator
entre numerador e denominador:
Mantenha em mente que a derivada só faz sentido onde a função original está definida, ou seja onde
.
Passo 7
Voltando à regra da cadeia, a derivada
é
Substituindo
simplificado:
Podemos escrever de forma mais direta:
com as restrições de domínio mencionadas:
e
.
Passo 8
Pronto — derivada encontrada! Respire fundo: a técnica foi usar cadeia + quociente e simplificar com cuidado. Se quiser, posso mostrar a derivada sem simplificação (sem cancelar fatores) ou derivar uma vez mais para obter
, mas isso fica bem mais longo. Força aí, você está indo bem!