Calcule as derivadas de:
’
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de
Informações dadas:
- A variável independente é
. - A função é uma composição: uma expressão polinomial
elevada à potência . - O que se deseja é
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Vamos recordar a regra que vamos usar (explicada passo a passo): se tivermos uma função composta
, a derivada é obtida multiplicando a derivada da função externa pelo derivado da função interna. Em fórmulas:
Aqui:
-
é a função interna (aquela que está dentro do parêntese). -
é a potência (número real). -
é a derivada da função interna em relação a .
Também usamos a regra básica para monômios: para qualquer constantee expoente ,
Essas são as ferramentas que precisamos.
Passo 3
Identificamos a parte interna e a potência:
Agora calculamos
usando a regra do monômio termo a termo:
Somando,
Se quisermos deixar mais factorizado para simplificar depois, podemos tirar
em evidência:
Passo 4
Aplicamos a fórmula da derivada da potência composta:
Simplificando o expoente
, obtemos
Passo 5
Agora simplificamos a expressão multiplicando constantes e usando a fatoração de
. Primeiro, use
:
Multiplicando
por
dá
. Assim:
Passo 6
Podemos simplificar ainda mais para obter uma forma que fique bem definida em
também. Observe que
Portanto
Multiplicando por
obtemos a potência de
:
Substituindo na expressão anterior:
Essa forma é algebraicamente equivalente à anterior, e mostra que o fator de
não causa problema em
(o valor resultante é
quando
).
Passo 7
Pequena verificação numérica rápida (para ganhar confiança): se
, então
e
. A expressão final dá
o que coincide se substituirmos direto a expressão anterior antes da simplificação — bom sinal que está consistente. Força aí, você já tem a forma final e a ideia de como chegar nela na prova!