Calcule as derivadas de:
h(d)=\left(2 d^{6}+5 d^{3}\right)^{\frac{3}{5}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
h(d)=\left(2 d^{6}+5 d^{3}\right)^{\frac{3}{5}}.
Informações dadas:
  • A variável independente é d.
  • A função é uma composição: uma expressão polinomial 2 d^{6}+5 d^{3} elevada à potência \tfrac{3}{5}.
  • O que se deseja é h'(d), a derivada de h em relação a d.

Passo 2

Vamos recordar a regra que vamos usar (explicada passo a passo): se tivermos uma função composta (u(d))^{m}, a derivada é obtida multiplicando a derivada da função externa pelo derivado da função interna. Em fórmulas:
\frac{d}{dd}\bigl(u(d)^{m}\bigr)=m\,u(d)^{m-1}\,u'(d).
Aqui:
  • u(d) é a função interna (aquela que está dentro do parêntese).
  • m é a potência (número real).
  • u'(d) é a derivada da função interna em relação a d.
    Também usamos a regra básica para monômios: para qualquer constante a e expoente k,
\frac{d}{dd}\bigl(a d^{k}\bigr)=a\cdot k\cdot d^{k-1}.
Essas são as ferramentas que precisamos.

Passo 3

Identificamos a parte interna e a potência:
u(d)=2 d^{6}+5 d^{3},\qquad m=\frac{3}{5}.
Agora calculamos u'(d) usando a regra do monômio termo a termo:
\frac{d}{dd}(2 d^{6})=2\cdot 6\,d^{5}=12 d^{5},
\frac{d}{dd}(5 d^{3})=5\cdot 3\,d^{2}=15 d^{2}.
Somando,
u'(d)=12 d^{5}+15 d^{2}.
Se quisermos deixar mais factorizado para simplificar depois, podemos tirar 3 d^{2} em evidência:
u'(d)=3 d^{2}(4 d^{3}+5).

Passo 4

Aplicamos a fórmula da derivada da potência composta:
h'(d)=\frac{3}{5}\bigl(2 d^{6}+5 d^{3}\bigr)^{\frac{3}{5}-1}\bigl(12 d^{5}+15 d^{2}\bigr).
Simplificando o expoente \frac{3}{5}-1=-\frac{2}{5}, obtemos
h'(d)=\frac{3}{5}\bigl(2 d^{6}+5 d^{3}\bigr)^{-\frac{2}{5}}\bigl(12 d^{5}+15 d^{2}\bigr).

Passo 5

Agora simplificamos a expressão multiplicando constantes e usando a fatoração de u'(d). Primeiro, use u'(d)=3 d^{2}(4 d^{3}+5):
h'(d)=\frac{3}{5}\bigl(2 d^{6}+5 d^{3}\bigr)^{-\frac{2}{5}}\cdot 3 d^{2}(4 d^{3}+5).
Multiplicando \frac{3}{5} por 3 d^{2} \frac{9}{5} d^{2}. Assim:
h'(d)=\frac{9}{5} d^{2}(4 d^{3}+5)\bigl(2 d^{6}+5 d^{3}\bigr)^{-\frac{2}{5}}.

Passo 6

Podemos simplificar ainda mais para obter uma forma que fique bem definida em d=0 também. Observe que
2 d^{6}+5 d^{3}=d^{3}(2 d^{3}+5).
Portanto
\bigl(2 d^{6}+5 d^{3}\bigr)^{-\frac{2}{5}}=\bigl(d^{3}(2 d^{3}+5)\bigr)^{-\frac{2}{5}}=d^{-\frac{6}{5}}(2 d^{3}+5)^{-\frac{2}{5}}.
Multiplicando por d^{2}=d^{\frac{10}{5}} obtemos a potência de d:
d^{2}\cdot d^{-\frac{6}{5}}=d^{\frac{10}{5}-\frac{6}{5}}=d^{\frac{4}{5}}.
Substituindo na expressão anterior:
h'(d)=\frac{9}{5}\,d^{\frac{4}{5}}\,(4 d^{3}+5)\,(2 d^{3}+5)^{-\frac{2}{5}}.
Essa forma é algebraicamente equivalente à anterior, e mostra que o fator de d não causa problema em d=0 (o valor resultante é 0 quando d=0).

Passo 7

Pequena verificação numérica rápida (para ganhar confiança): se d=1, então 2 d^{3}+5=7 e 4 d^{3}+5=9. A expressão final dá
h'(1)=\frac{9}{5}\cdot 1^{\frac{4}{5}}\cdot 9\cdot 7^{-\frac{2}{5}}=\frac{81}{5}\cdot 7^{-\frac{2}{5}},
o que coincide se substituirmos direto a expressão anterior antes da simplificação — bom sinal que está consistente. Força aí, você já tem a forma final e a ideia de como chegar nela na prova!

Resposta

h'(d)=\frac{9}{5}\,d^{\frac{4}{5}}\,(4 d^{3}+5)\,(2 d^{3}+5)^{-\frac{2}{5}}

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