Calcule as derivadas parciais de 
  ordem em 
  e 
 : 
 
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem em 
  e 
  da função 
 . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Vamos precisar usar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de 
  em relação a 
 , ou seja, 
 . Quando derivamos em relação a 
 , tratamos 
  como uma constante.
Passo 3
A função 
  é um produto de duas funções que envolvem 
 : 
  e 
 . No entanto, 
  não depende de 
 , então sua derivada em relação a 
  é zero.
Passo 4
Então, aplicando a regra da derivada de uma constante multiplicada por uma função, temos:
Agora, vamos derivar 
  em relação a 
 .
Passo 5
A derivada de 
  em relação a 
  é 
 , porque a derivada de 
  é 
 , onde 
 .
Passo 6
Substituindo de volta, temos:
Passo 7
Agora, vamos calcular a derivada parcial de 
  em relação a 
 , ou seja, 
 . Aqui, 
  é tratado como uma constante.
Passo 8
A função 
  novamente é um produto de duas funções de 
 : 
  e 
 . Então, precisamos usar a regra do produto para derivar.
Passo 9
Aplicando a regra do produto:
Passo 10
Vamos derivar cada parte separadamente:
- 
 - 
(usando a regra da cadeia)  
Passo 11
Substituindo as derivadas, temos:
Podemos fatorar 
 :
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função 
  são:
e