Calcule as Derivadas parciais e as diferenciais totais em cada item abaixo
15. g(x, y)=arctg \frac{y}{x}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de g(x,y)=\arctan\!\frac{y}{x} em relação a x e a y, além da diferencial total dg. Para isso vamos usar a regra da cadeia e a derivada básica
\frac{d}{du}\bigl(\arctan u\bigr)=\frac{1}{1+u^2}.

Passo 2

Para obter \frac{\partial g}{\partial x} definimos u=\frac{y}{x}. Então
\frac{\partial u}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(y\,x^{-1}\Bigr) =-y\,x^{-2}
e, pela regra da cadeia,
\frac{\partial g}{\partial x} =\frac{1}{1+u^2}\,\frac{\partial u}{\partial x} =\frac{-y\,x^{-2}}{1+\bigl(\frac{y}{x}\bigr)^2}.
Simplificando o denominador:
1+\frac{y^2}{x^2}=\frac{x^2+y^2}{x^2},
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\frac{\partial g}{\partial x} =-\frac{y}{x^2+y^2}.

Passo 3

Para obter \frac{\partial g}{\partial y} usamos o mesmo u=\frac{y}{x}. Então
\frac{\partial u}{\partial y} =\frac{1}{x},
e pela regra da cadeia
\frac{\partial g}{\partial y} =\frac{1}{1+u^2}\,\frac{\partial u}{\partial y} =\frac{\frac{1}{x}}{1+\bigl(\frac{y}{x}\bigr)^2}.
De modo análogo ao passo anterior, isto resulta em
\frac{\partial g}{\partial y} =\frac{x}{x^2+y^2}.

Passo 4

A diferencial total de g é dada por
dg =\frac{\partial g}{\partial x}\,dx+\frac{\partial g}{\partial y}\,dy =-\frac{y}{x^2+y^2}\,dx+\frac{x}{x^2+y^2}\,dy =\frac{-y\,dx+x\,dy}{x^2+y^2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial g}{\partial x}=-\frac{y}{x^2+y^2}, \displaystyle \frac{\partial g}{\partial y}=\frac{x}{x^2+y^2}, \displaystyle dg=\frac{-y\,dx+x\,dy}{x^2+y^2}.

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