Exercicio 2 Verifique se as seguintes equações diferenciais são exatas e resolva as que forem:
Equação:
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial
e pede para verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, resolvê-la. Para isso, identificamos
e vamos usar o critério de exatidão
.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Para resolver uma equação exata, existe uma função
tal que
Integramos
em relação a
:
onde
é uma função a determinar.
Passo 4
Agora impomos
Logo
, e integrando em
obtemos
Passo 5
Substituindo
em
, a solução geral implícita vem de
onde
é constante arbitrária.