Calcule as Derivadas parciais e as diferenciais totais em cada item abaixo
16. z=(x+y) e^{x+2 y}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de
z=(x+y)\,e^{\,x+2y}
e em seguida montar a diferencial total dz. Vamos usar a regra do produto (fg)'=f'g+fg' e a regra da cadeia \frac{d}{dx}e^{u(x)}=e^{u(x)}u'(x).

Passo 2

Calcular \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} aplicando regra do produto em f(x,y)=x+y e g(x,y)=e^{x+2y}:
\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(x+y)=1
\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}e^{x+2y}=e^{x+2y}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x+2y)=e^{x+2y}\cdot1
Portanto,
\frac{\partial z}{\partial x} =1\cdot e^{x+2y}+(x+y)\cdot e^{x+2y} =e^{x+2y}\bigl(1+x+y\bigr).

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} usando regra do produto em f(x,y)=x+y e g(x,y)=e^{x+2y}:
\displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(x+y)=1
\displaystyle \frac{\partial}{\partial y}e^{x+2y}=e^{x+2y}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x+2y)=e^{x+2y}\cdot2
Logo,
\frac{\partial z}{\partial y} =1\cdot e^{x+2y}+(x+y)\cdot2e^{x+2y} =e^{x+2y}\bigl(1+2(x+y)\bigr).

Passo 4

A diferencial total dz em função de dx e dy é dada por
dz =\frac{\partial z}{\partial x}\,dx+\frac{\partial z}{\partial y}\,dy =e^{x+2y}\bigl(1+x+y\bigr)\,dx +e^{x+2y}\bigl(1+2(x+y)\bigr)\,dy.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=e^{x+2y}\bigl(1+x+y\bigr) \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=e^{x+2y}\bigl(1+2(x+y)\bigr)
dz =e^{x+2y}\bigl(1+x+y\bigr)\,dx +e^{x+2y}\bigl(1+2(x+y)\bigr)\,dy.

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