Calcule as Derivadas parciais e as diferenciais totais em cada item abaixo
8. f(x, y)=e{x{2} y}.

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(x,y) = e^{x^{2}y}
calcular as derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y}, e em seguida obter a diferencial total df. Vamos usar a regra da cadeia: para \frac{\partial}{\partial x}e^{u(x,y)} temos e^{u}\,\frac{\partial u}{\partial x}, e de modo análogo para \frac{\partial}{\partial y}.

Passo 2

Para achar \frac{\partial f}{\partial x}, trate o expoente u(x,y)=x^{2}y. Então
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^{2}y) = 2x\,y.
Pela regra da cadeia,
\frac{\partial f}{\partial x} = e^{x^{2}y}\,\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}y) = e^{x^{2}y}\,(2x\,y).

Passo 3

Para achar \frac{\partial f}{\partial y}, agora \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^{2}y)=x^{2}. Logo, pela mesma regra,
\frac{\partial f}{\partial y} = e^{x^{2}y}\,\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}y) = e^{x^{2}y}\,(x^{2}).

Passo 4

A diferencial total df é dada por
df = \frac{\partial f}{\partial x}\,dx + \frac{\partial f}{\partial y}\,dy.
Substituindo as derivadas parciais,
df = e^{x^{2}y}(2x\,y)\,dx \;+\; e^{x^{2}y}(x^{2})\,dy = e^{x^{2}y}\bigl(2x\,y\,dx + x^{2}\,dy\bigr).

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x} = 2x\,y\,e^{x^{2}y}, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = x^{2}\,e^{x^{2}y}, \quad df = e^{x^{2}y}\bigl(2x\,y\,dx + x^{2}\,dy\bigr).

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