Calcule as Derivadas parciais e as diferenciais totais em cada item abaixo
9. f(x, y)=x cos(y-x).

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y) = x\cos\bigl(y - x\bigr)
e, em seguida, a diferencial total de f.
Para isso vamos usar:
– Regra do produto para derivar x\cos(\cdot).
– Regra da cadeia para derivar \cos(y-x).
– Definição de diferencial total
\mathrm{d}f = f_x\,\mathrm{d}x + f_y\,\mathrm{d}y.

Passo 2

Cálculo de \displaystyle f_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl[x\cos(y-x)\bigr].
Aplicando produto u=x e v=\cos(y-x):
\frac{\partial}{\partial x}(uv) = u'\,v + u\,v' = 1\cdot\cos(y-x) + x\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl[\cos(y-x)\bigr].
Agora, pela cadeia, com u=y-x,
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cos(y-x) = -\sin(y-x)\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(y-x) = -\sin(y-x)\,(-1) = \sin(y-x).
Logo,
f_x = \cos(y-x) + x\,\sin(y-x).

Passo 3

Cálculo de \displaystyle f_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl[x\cos(y-x)\bigr].
Aqui x é tratado como constante e só derivamos \cos(y-x):
f_y = x\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\bigl[\cos(y-x)\bigr] = x\cdot\bigl(-\sin(y-x)\bigr)\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}(y-x) = -x\,\sin(y-x)\cdot1 = -x\,\sin(y-x).

Passo 4

Montagem da diferencial total usando
\mathrm{d}f = f_x\,\mathrm{d}x + f_y\,\mathrm{d}y.
Substituindo os valores encontrados:
\mathrm{d}f = \bigl[\cos(y-x) + x\,\sin(y-x)\bigr]\mathrm{d}x \;+\;\bigl[-x\,\sin(y-x)\bigr]\mathrm{d}y.

Resposta

As derivadas parciais são
f_x = \cos(y-x) + x\,\sin(y-x), \qquad f_y = -x\,\sin(y-x),
e a diferencial total é
\mathrm{d}f = \bigl[\cos(y-x) + x\,\sin(y-x)\bigr]\mathrm{d}x - x\,\sin(y-x)\,\mathrm{d}y.

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