Calcule as derivadas parciais de f
f(x, y)=e^{x^{2} y}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y)=e^{x^{2}y}
Isso envolve usar a regra da cadeia em cada variável, tratando a outra como constante.

Passo 2

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}, tomamos y como constante. Defina a função interna
u(x)=x^{2}y.
Pela regra da cadeia,
\frac{\partial}{\partial x}e^{u(x)}=e^{u(x)}\cdot u'(x),
e
u'(x)=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}y)=2x\,y.
Logo,
\frac{\partial f}{\partial x} =e^{x^{2}y}\cdot(2x\,y) =2x\,y\,e^{x^{2}y}.

Passo 3

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}, tomamos x como constante. Agora a função interna é
v(y)=x^{2}y,
cuja derivada em relação a y é
v'(y)=x^{2}.
Aplicando a regra da cadeia,
\frac{\partial f}{\partial y} =e^{x^{2}y}\cdot x^{2} =x^{2}e^{x^{2}y}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}=2x\,y\,e^{x^{2}y}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=x^{2}e^{x^{2}y}.

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