Calcule as derivadas parciais de f
f(x, y)=x y+3 x^{2} y^{3}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y)=x y + 3x^{2}y^{3}.
O conteúdo aqui é derivada parcial: para obter \partial f/\partial x tratamos y como constante e diferenciamos em relação a x; para \partial f/\partial y tratamos x como constante e diferenciamos em relação a y.

Passo 2

Para calcular \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}, consideramos y constante. Aplicando a regra do poder e a linearidade:
\frac{\partial}{\partial x}(x y)=y,
\frac{\partial}{\partial x}(3x^{2}y^{3})=3\cdot2x\cdot y^{3}=6x\,y^{3}.
Somando os resultados, obtemos
\frac{\partial f}{\partial x}=y+6x\,y^{3}.

Passo 3

Para calcular \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}, consideramos x constante. Novamente aplicamos a regra do poder e a linearidade:
\frac{\partial}{\partial y}(x y)=x,
\frac{\partial}{\partial y}(3x^{2}y^{3})=3x^{2}\cdot3y^{2}=9x^{2}y^{2}.
Somando, resulta
\frac{\partial f}{\partial y}=x+9x^{2}y^{2}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}=y+6x\,y^{3}, \quad \frac{\partial f}{\partial y}=x+9x^{2}y^{2}.

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