Calcule as derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}, \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}, \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} para as funções abaixo:
f(x y)=x^{2}+3 x y+2 y^{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de
f(x,y)=x^{2}+3xy+2y^{2}
para as variáveis x e y, além das segundas derivadas \partial^{2}f/\partial x^{2}, \partial^{2}f/\partial y^{2} e a mista \partial^{2}f/\partial x\partial y. Vamos usar a definição de derivada parcial tratando a outra variável como constante.

Passo 2

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} diferenciamos f em relação a x mantendo y constante.
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}+3xy+2y^{2}\bigr) =2x+3y+0 =2x+3y.

Passo 3

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} diferenciamos f em relação a y mantendo x constante.
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}+3xy+2y^{2}\bigr) =0+3x+4y =3x+4y.

Passo 4

Para \displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} derivamos \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=2x+3y em relação a x:
\frac{\partial}{\partial x}(2x+3y) =2.

Passo 5

Para \displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} derivamos \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=3x+4y em relação a y:
\frac{\partial}{\partial y}(3x+4y) =4.

Passo 6

Para a derivada mista \displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y} podemos derivar \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=2x+3y em relação a y:
\frac{\partial}{\partial y}(2x+3y) =3.
Como f é suave, vale também \displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}=3.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=2x+3y \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=3x+4y \displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=2 \displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=4 \displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial x \partial y}=3

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