Calcule as derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}, \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}, \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} para as funções abaixo:
f(x, y)=e^{x^{2} y}

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(x,y) = e^{x^{2}y}
calcular as derivadas parciais de primeira ordem \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} e as derivadas de segunda ordem \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}, \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}, \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}. Para isso vamos usar a regra da cadeia e, quando necessário, a regra do produto.

Passo 2

Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}.
Defina u(x,y)=x^2y, então f=e^u.
\frac{\partial u}{\partial x} = 2xy,
pela regra da cadeia,
\frac{\partial f}{\partial x} = e^{u}\,\frac{\partial u}{\partial x} = e^{x^2y}\,(2xy) = 2xy\,e^{x^2y}.

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}.
Usando u=x^2y de novo,
\frac{\partial u}{\partial y} = x^2,
logo
\frac{\partial f}{\partial y} = e^{u}\,\frac{\partial u}{\partial y} = e^{x^2y}\,(x^2) = x^2\,e^{x^2y}.

Passo 4

Calcular \displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}.
Já temos \frac{\partial f}{\partial x}=2xy\,e^{x^2y}. Aplique a regra do produto em x:
g(x)=2xy,\quad h(x)=e^{x^2y},
g'(x)=2y,\quad h'(x)=e^{x^2y}\,(2xy).
Então
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} = g'(x)\,h(x)+g(x)\,h'(x) =2y\,e^{x^2y} + 2xy\,(2xy)\,e^{x^2y} = e^{x^2y}\bigl(2y + 4x^2y^2\bigr).

Passo 5

Calcular \displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}.
Temos \frac{\partial f}{\partial y}=x^2\,e^{x^2y}. Como x^2 é constante em relação a y,
\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} = x^2 \,\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x^2y}\bigr) = x^2\,e^{x^2y}\,(x^2) = x^4\,e^{x^2y}.

Passo 6

Calcular \displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}.
Partindo de \frac{\partial f}{\partial x}=2xy\,e^{x^2y} e diferenciando em y, use o produto em y:
g(y)=2xy,\quad h(y)=e^{x^2y},
g'(y)=2x,\quad h'(y)=e^{x^2y}\,(x^2).
Logo
\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y} = g'(y)\,h(y)+g(y)\,h'(y) =2x\,e^{x^2y} + 2xy\,(x^2)\,e^{x^2y} = e^{x^2y}\bigl(2x + 2x^3y\bigr).

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x} =2xy\,e^{x^2y}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} =x^2\,e^{x^2y},
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} =e^{x^2y}\bigl(2y + 4x^2y^2\bigr), \qquad \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} =x^4\,e^{x^2y},
\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y} =e^{x^2y}\bigl(2x + 2x^3y\bigr).

Exercícios relacionados