Calcule as derivadas parciais:
\frac{\partial}{\partial x}\left(x^{2} \operatorname{sen} y\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada parcial em relação a x da função x^{2}\operatorname{sen} y. Informações relevantes:
  • A função é f(x,y)=x^{2}\operatorname{sen} y.
  • A diferenciação é em relação a x; portanto y deve ser tratado como constante durante a diferenciação.

Passo 2

Lembrete do que é derivada parcial em x: \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}f(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}. Na prática, ao derivar em relação a x considera-se y fixo e aplica-se as regras usuais de derivação da variável x.
Escrevendo a função de forma explícita:
f(x,y)=x^{2}\operatorname{sen} y.
Aqui \operatorname{sen} y não depende de x, então durante a derivação em x ela se comporta como uma constante multiplicativa.

Passo 3

Usa-se a propriedade linear da derivada: se c é constante (em relação a x) e g(x) é função de x, então
\frac{\partial}{\partial x}\big(c\cdot g(x)\big)=c\cdot \frac{d}{dx}g(x).
No nosso caso c=\operatorname{sen} y e g(x)=x^{2}.

Passo 4

Aplicando a regra da potência para g(x)=x^{2}: \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x. (Regra da potência: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.)
Multiplicando pela constante \operatorname{sen} y obtemos a derivada parcial:
\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}\operatorname{sen} y\big)=2x\operatorname{sen} y.
Exemplo rápido para fixar: se y=\dfrac{\pi}{2} então \operatorname{sen} y=1 e a derivada fica 2x.

Resposta

2x\operatorname{sen} y

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