Considere o PVI com EDO não homogênea
(a) Sendo
a transformada de Laplace de
, encontre a transformada
da função
;
(b) Determine
como uma convolução.
(b) Determine
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
e informa que
é a transformada de Laplace de
. As perguntas são:
- (a) encontrar a transformada
da solução ; - (b) escrever
como uma convolução envolvendo .
Informações relevantes que temos: a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e condições iniciais nulas; temos a transformada
.]
Passo 2
Lembrete útil (fórmulas que vou usar): para uma função
com transformada
e supondo existirem as transformadas,
Aqui
e
são as condições iniciais dadas. Essas fórmulas vêm da definição da transformada e integração por partes; servem para transformar derivadas em expressões algébricas em
.
Agora aplico a transformada de Laplace na equação dada. Tomando
dos dois lados:
Passo 3
Substituo as fórmulas das derivadas e as condições iniciais
,
. Assim:
Como
e
, isso simplifica muito:
Fatorando
do lado esquerdo:
Daí isolamos
:
Passo 4
É conveniente escrever o denominador completando o quadrado:
Portanto podemos reescrever
Esta forma é útil porque permite reconhecer a transformada inversa conhecida que será o núcleo da convolução.
Passo 5
Explicação da Técnica (teorema da convolução): se
e
, então
Ou seja, o produto no domínio
vira convolução no tempo. Aqui já temos
com
Agora precisamos achar
. Uso a tabela básica de pares de Laplace: para
reais,
Tomando
e
obtemos
Logo
Passo 6
Aplicando o teorema da convolução, a solução
é a convolução de
com
:
Substituindo
, obtemos a forma final prática:
Essa é uma expressão que se usa na prova: primeiro encontra-se o núcleo
(resposta do sistema homogêneo ao impulso), e então convolui-se com
.