Calcule as derivadas parciais
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular as derivadas parciais de uma função
em relação a
e
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar aplicar regras de derivação, como a regra do produto e a derivada da função composta.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função é
. Note que temos um produto de duas funções:
e
. Então, vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
- Derivada de
em relação a : - Derivada de
em relação a : (Aqui usamos a regra da cadeia, já que temos uma função composta.)
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função continua sendo
. Dessa vez, só a parte
depende de
, então a derivada de
em relação a
é zero.
- Derivada de
em relação a : (Usamos novamente a regra da cadeia.)
Multiplicando pela parte que depende de
:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais de
são:
e