Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo. Determine o domínio (da função e das derivadas).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem de várias funções e determinar o domínio de cada função e de suas derivadas. Para isso, vamos precisar entender como derivar funções de múltiplas variáveis e identificar onde essas funções estão bem definidas.
Passo 2
Função a(x, y) =
Derivada parcial em relação a x (
):
Aqui, tratamos y como uma constante.
Calculando cada termo:
Derivada parcial em relação a y (
):
Tratamos x como uma constante.
Calculando cada termo:
Domínio da funç��o a(x, y):
A função é um polinômio, que está definido para todos os valores reais de x e y.
Domínio das derivadas:
Como as derivadas são polinômios, também estão definidas para todos os valores reais de x e y.
Passo 3
Função b(x, y) =
Derivada parcial em relação a x (
):
Aplicamos a regra da cadeia.
Derivada parcial em relação a y (
):
Novamente, aplicamos a regra da cadeia.
Domínio da função b(x, y):
A expressão dentro da potência deve ser real, o que sempre é verdadeiro para polinômios. Logo, a função está definida para todos os valores reais de x e y.
Domínio das derivadas:
Como as derivadas envolvem polinômios, estão definidas para todos os valores reais de x e y.
Passo 4
Função c(x, y) =
Derivada parcial em relação a x (
):
Usamos a regra da potência.
Derivada parcial em relação a y (
):
De forma similar:
Domínio da função c(x, y):
A expressão dentro da raiz quadrada deve ser positiva.
Domínio das derivadas:
As derivadas também requerem que
para evitar divisão por zero e raiz de número negativo.
Resposta
Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem e os respectivos domínios para as funções a, b e c:
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a(x, y):
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- Domínio:
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b(x, y):
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- Domínio:
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c(x, y):
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- Domínio da função:
- Domínio das derivadas:
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