Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo. Determine o domínio (da função e das derivadas).
lllll a(x, y)=7 x y^4+5 x^2+13 y^3-1 & b(x, y)=(7 x-3 y^2)^8 & c(x, y)=raizx y & d(u, t)=u^3 tu^2+3 t^2 & e(x, y)=y^x f(x, y)=y^3 ln (x^2+y^2) & g(r, s)=arctan (r s^2) & h(x, y)=sin (x y) & i(x, y)=e^x^2 y(y x^2+1 / x) & j(x, y)=y / x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem de várias funções e determinar o domínio de cada função e de suas derivadas. Para isso, vamos precisar entender como derivar funções de múltiplas variáveis e identificar onde essas funções estão bem definidas.

Passo 2

Função a(x, y) = partial apartial x = partialpartial x(7xy^4) + partialpartial x(5x^2) + partialpartial x(13y^3) - partialpartial x(1)

Derivada parcial em relação a x ( = 7y^4 + 10x + 0 - 0 = 7y^4 + 10x ):
Aqui, tratamos y como uma constante.
partial apartial y = partialpartial y(7xy^4) + partialpartial y(5x^2) + partialpartial y(13y^3) - partialpartial y(1)
Calculando cada termo:
= 28xy^3 + 0 + y^2 - 0 = 28xy^3 + y^2
Derivada parcial em relação a y ( Domínio: R^2 ):
Tratamos x como uma constante.
Calculando cada termo:
Domínio da funç��o a(x, y):
A função é um polinômio, que está definido para todos os valores reais de x e y.
í
Domínio das derivadas:
Como as derivadas são polinômios, também estão definidas para todos os valores reais de x e y.

Passo 3

Função b(x, y) = partial bpartial x = 8(7x - 3y^2)^7 cdot partialpartial x(7x - 3y^2) = 8(7x - 3y^2)^7 cdot 7 = 56(7x - 3y^2)^7

Derivada parcial em relação a x ( partial bpartial y = 8(7x - 3y^2)^7 cdot partialpartial y(7x - 3y^2) = 8(7x - 3y^2)^7 cdot (-6y) = -48y(7x - 3y^2)^7 ):
Aplicamos a regra da cadeia.
Domínio: R^2
Derivada parcial em relação a y ( ):
Novamente, aplicamos a regra da cadeia.
Domínio da função b(x, y):
A expressão dentro da potência deve ser real, o que sempre é verdadeiro para polinômios. Logo, a função está definida para todos os valores reais de x e y.
í
Domínio das derivadas:
Como as derivadas envolvem polinômios, estão definidas para todos os valores reais de x e y.

Passo 4

Função c(x, y) = partial cpartial x = 12(xy)^-1/2 cdot y = y2raizxy

Derivada parcial em relação a x ( partial cpartial y = 12(xy)^-1/2 cdot x = x2raizxy ):
Usamos a regra da potência.
xy >= 0 implies x >= 0 e y >= 0 ou x <= 0 e y <= 0
Derivada parcial em relação a y ( xy > 0 ):
De forma similar:
Domínio da função c(x, y):
A expressão dentro da raiz quadrada deve ser positiva.
Domínio das derivadas:
As derivadas também requerem que para evitar divisão por zero e raiz de número negativo.

Resposta

Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem e os respectivos domínios para as funções a, b e c:
  • a(x, y):
    • Domínio:
  • b(x, y):
    • Domínio:
  • c(x, y):
    • Domínio da função:
    • Domínio das derivadas:

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