Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções
Passo 1
Beleza, vamos resolver as derivadas parciais de primeira ordem das funções que você mandou. A matéria aqui é Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas parciais e como aplicá-las em funções que envolvem integrais definidas e funções trigonométricas. Vamos precisar usar o Teorema Fundamental do Cálculo para derivadas de integrais com limites variáveis e também regras de derivação como a regra do produto e do quociente.
Passo 2
Vamos começar com a função
. Para encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
, usamos o Teorema Fundamental do Cálculo que nos diz que a derivada de uma integral com limite superior variável é a função integranda avaliada nesse limite multiplicada pela derivada do limite em relação à variável.
Passo 3
Derivando
em relação a
:
Passo 4
Derivando
em relação a
:
Passo 5
Agora vamos para
. Aqui, tanto o limite inferior quanto o superior dependem das variáveis
e
. Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo e lembramos que, se o limite inferior depende da variável, a derivada incluirá um termo negativo.
Passo 6
Derivando
em relação a
:
Passo 7
Derivando
em relação a
:
Passo 8
Agora, para
, os limites também dependem de
e
. Vamos aplicar novamente o Teorema Fundamental do Cálculo com atenção aos limites.
Passo 9
Derivando
em relação a
:
(Note que
não depende de
, então a primeira parte é zero.)
Passo 10
Derivando
em relação a
:
(A segunda parte é zero porque
não depende de
.)
Passo 11
Finalmente, vamos derivar
. Aqui, temos uma função que é o quociente de duas funções:
no numerador e
no denominador. Vamos usar a regra do quociente para derivadas parciais.
Passo 12
Derivando
em relação a
:
Calculando as derivadas:
Substituindo:
Passo 13
Derivando
em relação a
:
Calculando as derivadas:
Substituindo:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem são: