Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções
f(x, y)=integral0^x^2+y^2 e^-t^2 d t g(x, y)=integraly^x sin t^2 d t h(x, y)=integralx^2^y^2 e^-t^2 d t l(r, s)=r sin scos (r^2+s^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver as derivadas parciais de primeira ordem das funções que você mandou. A matéria aqui é Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas parciais e como aplicá-las em funções que envolvem integrais definidas e funções trigonométricas. Vamos precisar usar o Teorema Fundamental do Cálculo para derivadas de integrais com limites variáveis e também regras de derivação como a regra do produto e do quociente.

Passo 2

Vamos começar com a função . Para encontrar as derivadas parciais de em relação a e , usamos o Teorema Fundamental do Cálculo que nos diz que a derivada de uma integral com limite superior variável é a função integranda avaliada nesse limite multiplicada pela derivada do limite em relação à variável.

Passo 3

Derivando partial fpartial x = e^-(x^2+y^2)^2 cdot partialpartial x(x^2+y^2) = e^-(x^2+y^2)^2 cdot 2x em relação a :

Passo 4

Derivando partial fpartial y = e^-(x^2+y^2)^2 cdot partialpartial y(x^2+y^2) = e^-(x^2+y^2)^2 cdot 2y em relação a :

Passo 5

Agora vamos para . Aqui, tanto o limite inferior quanto o superior dependem das variáveis e . Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo e lembramos que, se o limite inferior depende da variável, a derivada incluirá um termo negativo.

Passo 6

Derivando partial gpartial x = sin(x^2) cdot partialpartial x(x) = sin(x^2) cdot 1 = sin(x^2) em relação a :

Passo 7

Derivando partial gpartial y = -sin(y^2) cdot partialpartial y(y) = -sin(y^2) cdot 1 = -sin(y^2) em relação a :

Passo 8

Agora, para , os limites também dependem de e . Vamos aplicar novamente o Teorema Fundamental do Cálculo com atenção aos limites.

Passo 9

Derivando partial hpartial x = e^-(y^2)^2 cdot partialpartial x(y^2) - e^-(x^2)^2 cdot partialpartial x(x^2) = 0 - e^-x^4 cdot 2x = -2x e^-x^4 em relação a :
(Note que não depende de , então a primeira parte é zero.)

Passo 10

Derivando partial hpartial y = e^-y^4 cdot partialpartial y(y^2) - e^-x^4 cdot partialpartial y(x^2) = e^-y^4 cdot 2y - 0 = 2y e^-y^4 em relação a :
(A segunda parte é zero porque não depende de .)

Passo 11

Finalmente, vamos derivar . Aqui, temos uma função que é o quociente de duas funções: no numerador e no denominador. Vamos usar a regra do quociente para derivadas parciais.

Passo 12

Derivando partial lpartial r = partialpartial r(r sin s) cdot cos(r^2+s^2) - r sin s cdot partialpartial r(cos(r^2+s^2)) [cos(r^2+s^2)]^2 em relação a partialpartial r(r sin s) = sin s :
partialpartial r(cos(r^2+s^2)) = -sin(r^2+s^2) cdot 2r
Calculando as derivadas:
partial lpartial r = sin s cdot cos(r^2+s^2) - r sin s cdot (-2r sin(r^2+s^2)) cos^2(r^2+s^2) = sin s cos(r^2+s^2) + 2r^2 sin s sin(r^2+s^2) cos^2(r^2+s^2)
Substituindo:

Passo 13

Derivando partial lpartial s = partialpartial s(r sin s) cdot cos(r^2+s^2) - r sin s cdot partialpartial s(cos(r^2+s^2)) [cos(r^2+s^2)]^2 em relação a partialpartial s(r sin s) = r cos s :
partialpartial s(cos(r^2+s^2)) = -sin(r^2+s^2) cdot 2s
Calculando as derivadas:
partial lpartial s = r cos s cdot cos(r^2+s^2) - r sin s cdot (-2s sin(r^2+s^2)) cos^2(r^2+s^2) = r cos s cos(r^2+s^2) + 2rs sin s sin(r^2+s^2) cos^2(r^2+s^2)
Substituindo:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem são:
partial fpartial x = 2x e^-(x^2+y^2)^2, partial fpartial y = 2y e^-(x^2+y^2)^2
partial gpartial x = sin(x^2), partial gpartial y = -sin(y^2)
partial hpartial x = -2x e^-x^4, partial hpartial y = 2y e^-y^4
partial lpartial r = sin s cos(r^2+s^2) + 2r^2 sin s sin(r^2+s^2) cos^2(r^2+s^2) ,
partial lpartial s = r cos s cos(r^2+s^2) + 2rs sin s sin(r^2+s^2) cos^2(r^2+s^2)

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