Calcule as derivadas parciais de segunda ordem da função f.
f(x, y)=\operatorname{arctg}(y / x);

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem de
f(x,y)=\arctan\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr).
O conteúdo é cálculo de derivadas parciais usando regras de cadeia e produto. Primeiro vamos achar f_x e f_y; em seguida derivamos mais uma vez em cada variável.

Passo 2

Definindo u(y,x)=y/x,
f(x,y)=\arctan(u),\quad \frac{\partial}{\partial u}\arctan(u)=\frac1{1+u^2}.
Calculamos
u_x=-\frac{y}{x^2},\quad u_y=\frac1{x}.
Logo, por regra da cadeia,
f_x = \frac{u_x}{1+u^2} = \frac{-y/x^2}{1+(y/x)^2} = -\frac{y}{x^2+y^2},
f_y = \frac{u_y}{1+u^2} = \frac{1/x}{1+(y/x)^2} = \frac{x}{x^2+y^2}.

Passo 3

Agora calculamos \displaystyle f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-y\,(x^2+y^2)^{-1}\bigr).
Aqui y é constante, logo
f_{xx} = -y\cdot\bigl(-1\bigr)\,(x^2+y^2)^{-2}\cdot 2x = \frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}.

Passo 4

Calculamos \displaystyle f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-y\,(x^2+y^2)^{-1}\bigr).
Usando produto e cadeia:
f_{xy} = -\bigl[(x^2+y^2)^{-1} + y\cdot(-1)\,(x^2+y^2)^{-2}\cdot2y\bigr] = -\frac{x^2+y^2-2y^2}{(x^2+y^2)^2} = \frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}.

Passo 5

Finalmente \displaystyle f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x\,(x^2+y^2)^{-1}\bigr).
Aqui x é constante, logo
f_{yy} = x\cdot(-1)\,(x^2+y^2)^{-2}\cdot2y = -\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}.

Resposta

f_{xx} = \frac{2xy}{(x^2+y^2)^2},\qquad f_{xy} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^2},\qquad f_{yy} = -\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}.

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