Calcule as derivadas parciais de segunda ordem da função f.
f(x, y)=\ln \left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right);

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem de
f(x,y)=\ln\bigl(\sqrt{x^2+y^2}\bigr).
Este é um problema de diferenciação de funções compostas e aplicação da regra do quociente.

Passo 2

Primeiro note que
f(x,y)=\ln\bigl((x^2+y^2)^{1/2}\bigr)=\tfrac12\ln\bigl(x^2+y^2\bigr),
o que simplifica a diferenciação.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais de primeira ordem:
f_x = \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\tfrac12\ln(x^2+y^2)\Bigr) = \tfrac12\cdot\frac{2x}{x^2+y^2} = \frac{x}{x^2+y^2},
f_y = \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\tfrac12\ln(x^2+y^2)\Bigr) = \tfrac12\cdot\frac{2y}{x^2+y^2} = \frac{y}{x^2+y^2}.

Passo 4

Agora as segundas derivadas \partial^2f/\partial x^2 e \partial^2f/\partial y^2, usando a regra do quociente em \displaystyle f_x=\frac{x}{x^2+y^2} e \displaystyle f_y=\frac{y}{x^2+y^2}:
f_{xx} = \frac{(x^2+y^2)\cdot1 - x\cdot(2x)}{(x^2+y^2)^2} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^2},
f_{yy} = \frac{(x^2+y^2)\cdot1 - y\cdot(2y)}{(x^2+y^2)^2} = \frac{x^2 - y^2}{(x^2+y^2)^2}.

Passo 5

Finalmente a derivada mista f_{xy}, derivando f_x=\tfrac{x}{x^2+y^2} em relação a y:
f_{xy} = \frac{-x\cdot(2y)}{(x^2+y^2)^2} = -\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}.
Por continuidade, f_{yx}=f_{xy}.

Resposta

f_{xx}=\frac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^2}, \quad f_{yy}=\frac{x^2 - y^2}{(x^2+y^2)^2}, \quad f_{xy}=f_{yx}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}.

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