Calcule as derivadas f^{\prime}(x), onde
f(x)=\ln \left(x^{2}+3 x\right) 8^{x^{9}+10 x+1}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede calcular a derivada f'(x).
  • A função dada é
f(x)=\ln\!\left(x^{2}+3x\right)\,8^{x^{9}+10x+1}.
  • Informações relevantes que já podemos anotar (sem resolver ainda):
    • A função é produto de duas funções: uma parte logarítmica u(x)=\ln\!\left(x^{2}+3x\right) e uma parte exponencial v(x)=8^{x^{9}+10x+1}.
    • A derivada vai exigir regras de derivação para produto, logaritmo natural e funções do tipo a^{g(x)}.

Passo 2

Plano de resolução (regra que vamos usar):
  • Para derivar um produto u(x)\,v(x) usamos a regra do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)v(x)\bigr)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
  • Portanto vamos:
    1. Identificar u(x) e v(x).
    2. Calcular u'(x) usando a regra da cadeia para \ln.
    3. Calcular v'(x) usando a regra para a^{g(x)} (ou exponencial com mudança de base).
    4. Aplicar a regra do produto e simplificar.

Passo 3

Derivada da parte logarítmica u(x)=\ln\!\left(x^{2}+3x\right).
  • Regra usada: a derivada de \ln\!\bigl(g(x)\bigr) é
\frac{d}{dx}\ln\!\bigl(g(x)\bigr)=\frac{g'(x)}{g(x)},
desde que g(x)>0.
  • Aqui g(x)=x^{2}+3x. Então
g'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+3x\bigr)=2x+3.
  • Logo
u'(x)=\frac{2x+3}{x^{2}+3x}.

Passo 4

Derivada da parte exponencial v(x)=8^{x^{9}+10x+1}.
  • Regra usada: para base constante a>0 e função h(x),
\frac{d}{dx}a^{h(x)}=a^{h(x)}\ln a\cdot h'(x).
Isto vem de escrever a^{h(x)}=e^{h(x)\ln a} e aplicar a cadeia.
  • Aqui h(x)=x^{9}+10x+1. Então
h'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{9}+10x+1\bigr)=9x^{8}+10.
  • Portanto
v'(x)=8^{x^{9}+10x+1}\ln 8\cdot(9x^{8}+10).

Passo 5

Aplicação da regra do produto e montagem da derivada final (aqui juntamos as peças sem a simplificação final fechada).
  • Usando u'(x) e v'(x) da forma geral da regra do produto:
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
  • Sabemos que u'(x)=\dfrac{2x+3}{x^{2}+3x}, u(x)=\ln\!\left(x^{2}+3x\right), v(x)=8^{x^{9}+10x+1} e v'(x)=8^{x^{9}+10x+1}\ln 8\,(9x^{8}+10).

Passo 6

Comentário sobre simplificação e domínio:
  • Podemos fatorar 8^{x^{9}+10x+1} que está em ambos os termos para escrever a derivada de forma mais compacta.
  • Lembrete de domínio: \ln\!\left(x^{2}+3x\right) exige x^{2}+3x>0, ou seja x<-3 ou x>0. A derivada só faz sentido nessas regiões (exceto pontos de descontinuidade no interior, mas aqui a expressão é suave nesses intervalos).

Resposta

f'(x)=8^{x^{9}+10x+1}\left(\frac{2x+3}{x^{2}+3x}+\ln\!\left(x^{2}+3x\right)\ln 8\,(9x^{8}+10)\right)

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