Calcule as derivadas
, onde
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede calcular a derivada
. - A função dada é
- Informações relevantes que já podemos anotar (sem resolver ainda):
- A função é produto de duas funções: uma parte logarítmica
e uma parte exponencial . - A derivada vai exigir regras de derivação para produto, logaritmo natural e funções do tipo
.
- A função é produto de duas funções: uma parte logarítmica
Passo 2
Plano de resolução (regra que vamos usar):
- Para derivar um produto
usamos a regra do produto:
- Portanto vamos:
- Identificar
e . - Calcular
usando a regra da cadeia para . - Calcular
usando a regra para (ou exponencial com mudança de base). - Aplicar a regra do produto e simplificar.
- Identificar
Passo 3
Derivada da parte logarítmica
.
- Regra usada: a derivada de
é
desde que
.
- Aqui
. Então
- Logo
Passo 4
Derivada da parte exponencial
.
- Regra usada: para base constante
e função ,
Isto vem de escrever
e aplicar a cadeia.
- Aqui
. Então
- Portanto
Passo 5
Aplicação da regra do produto e montagem da derivada final (aqui juntamos as peças sem a simplificação final fechada).
- Usando
e da forma geral da regra do produto:
- Sabemos que
, , e .
Passo 6
Comentário sobre simplificação e domínio:
- Podemos fatorar
que está em ambos os termos para escrever a derivada de forma mais compacta. - Lembrete de domínio:
exige , ou seja ou . A derivada só faz sentido nessas regiões (exceto pontos de descontinuidade no interior, mas aqui a expressão é suave nesses intervalos).