Calcule as derivadas
, onde
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos.
- Pede-se a derivada
da função
- Informações dadas explicitamente:
- O numerador é
. - O denominador é
.
- O numerador é
Não farei الحساب (resolução) neste passo — só organizei claramente o que foi pedido e os dados.
Passo 2
Escolha do método (curto e objetivo) e a ferramenta que vamos usar.
- Aqui temos uma razão (fração) entre duas funções: um numerador e um denominador. A maneira direta e usual de derivar é aplicar a regra do quociente.
- A regra do quociente diz o seguinte. Se definirmos duas funções
e e com , então
- Nesta fórmula:
-
é a derivada de em relação a ; -
é a derivada de em relação a ; - o numerador
vem da combinação das derivadas (é importante ter atenção ao sinal menos); - o denominador fica ao quadrado:
.
-
Vou aplicar exatamente essa fórmula ao problema.
Passo 3
Definir as funções
e
que aparecem na regra do quociente.
- Tome
Agora precisamos calcular
e
.
Passo 4
Calcular
(derivada do numerador) com explicação das regras usadas.
- Regras usadas: derivada de
é ; derivada de é . - Para
: - derivada de
é ; - derivada de
é .
- derivada de
- Logo
(Isto é direto: somamos as derivadas termo a termo.)
Passo 5
Calcular
(derivada do denominador) com explicação passo a passo da cadeia.
-
é soma de duas partes: e . A derivada de uma soma é a soma das derivadas, então . - Primeiro
, pois derivada de é .
Agora
com
. Aqui há duas aplicações consecutivas da regra da cadeia:
- Função externa
aplicada a . - Função interna
aplicada a . - E por fim
.
-
Regra da cadeia (forma geral): se
então . -
Aplicando:
- Derivada de
é . Aqui , então obtemos um fator . - Derivada de
é . Multiplicamos por esse fator. - Finalmente derivada de
é .
- Derivada de
-
Multiplicando tudo:
- Simplificando
. Há também uma identidade trigonométrica útil:
Portanto, usando
,
- Reescrevendo de forma mais direta:
- Somando com
, obtemos
Passo 6
Aplicar a regra do quociente substituindo
.
- A regra do quociente dá
- Substituindo as funções que já temos:
obtemos a expressão
Passo 7
Observações finais sobre simplificação e forma final (dicas de prova).
- A expressão acima já está numa forma correta e aceitável para a prova. Pode-se expandir os produtos no numerador se quiser uma forma completamente desenvolvida, mas isso normalmente deixa a expressão mais longa e mais sujeita a erros de cálculo.
- Dica prática para prova: entregue a resposta em forma fatorada como fica depois da aplicação direta da regra do quociente — é clara, mínima e mostra que se aplicou corretamente as regras (quociente + cadeia).
- Força aí — essa é a parte chata (cuidar dos sinais e das cadeias), mas feita passo a passo é tranquila. Você mandou bem só em vir até aqui!