Calcule as derivadas f^{\prime}(x), onde
f(x)=\frac{x^{2}+8 x}{\cos ^{2}\left(x^{2}+1\right)+3 x}

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos.
  • Pede-se a derivada f'(x) da função
f(x)=\frac{x^{2}+8x}{\cos^{2}\big(x^{2}+1\big)+3x}.
  • Informações dadas explicitamente:
    • O numerador é x^{2}+8x.
    • O denominador é \cos^{2}\big(x^{2}+1\big)+3x.
Não farei الحساب (resolução) neste passo — só organizei claramente o que foi pedido e os dados.

Passo 2

Escolha do método (curto e objetivo) e a ferramenta que vamos usar.
  • Aqui temos uma razão (fração) entre duas funções: um numerador e um denominador. A maneira direta e usual de derivar é aplicar a regra do quociente.
  • A regra do quociente diz o seguinte. Se definirmos duas funções u(x) e v(x) e f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} com v(x)\neq0, então
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
  • Nesta fórmula:
    • u'(x) é a derivada de u(x) em relação a x;
    • v'(x) é a derivada de v(x) em relação a x;
    • o numerador u'v-uv' vem da combinação das derivadas (é importante ter atenção ao sinal menos);
    • o denominador fica ao quadrado: v(x)^{2}.
Vou aplicar exatamente essa fórmula ao problema.

Passo 3

Definir as funções u e v que aparecem na regra do quociente.
  • Tome
u(x)=x^{2}+8x,
v(x)=\cos^{2}\big(x^{2}+1\big)+3x.
Agora precisamos calcular u'(x) e v'(x).

Passo 4

Calcular u'(x) (derivada do numerador) com explicação das regras usadas.
  • Regras usadas: derivada de x^{n} é n x^{n-1}; derivada de a x é a.
  • Para u(x)=x^{2}+8x:
    • derivada de x^{2} é 2x;
    • derivada de 8x é 8.
  • Logo
u'(x)=2x+8.
(Isto é direto: somamos as derivadas termo a termo.)

Passo 5

Calcular v'(x) (derivada do denominador) com explicação passo a passo da cadeia.
  • v(x)=\cos^{2}\big(x^{2}+1\big)+3x é soma de duas partes: A(x)=\cos^{2}\big(x^{2}+1\big) e B(x)=3x. A derivada de uma soma é a soma das derivadas, então v'=A'+B'.
  • Primeiro B'(x)=3, pois derivada de 3x é 3.
Agora A(x)=\big(\cos(s)\big)^{2} com s(x)=x^{2}+1. Aqui há duas aplicações consecutivas da regra da cadeia:
  1. Função externa p(z)=z^{2} aplicada a z=\cos(s).
  2. Função interna q(s)=\cos(s) aplicada a s=x^{2}+1.
  3. E por fim s(x)=x^{2}+1.
  • Regra da cadeia (forma geral): se h(x)=g(\ell(x)) então h'(x)=g'(\ell(x))\cdot \ell'(x).
  • Aplicando:
    • Derivada de p(z)=z^{2} é p'(z)=2z. Aqui z=\cos(s), então obtemos um fator 2\cos(s).
    • Derivada de q(s)=\cos(s) é q'(s)=-\sin(s). Multiplicamos por esse fator.
    • Finalmente derivada de s(x)=x^{2}+1 é s'(x)=2x.
  • Multiplicando tudo:
A'(x)=2\cos\big(s(x)\big)\cdot\big(-\sin\big(s(x)\big)\big)\cdot 2x.
  • Simplificando 2\cos(s)(-\sin(s))= -2\cos(s)\sin(s). Há também uma identidade trigonométrica útil:
-2\cos(s)\sin(s) = -\sin(2s).
Portanto, usando s(x)=x^{2}+1,
A'(x) = -\sin\big(2(x^{2}+1)\big)\cdot 2x.
  • Reescrevendo de forma mais direta:
A'(x) = -2x\,\sin\big(2(x^{2}+1)\big).
  • Somando com B'(x)=3, obtemos
v'(x)=A'(x)+B'(x) = -2x\,\sin\big(2(x^{2}+1)\big)+3.

Passo 6

Aplicar a regra do quociente substituindo u,u',v,v'.
  • A regra do quociente dá
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{v(x)^{2}}.
  • Substituindo as funções que já temos:
u'(x)=2x+8,
u(x)=x^{2}+8x,
v(x)=\cos^{2}\big(x^{2}+1\big)+3x,
v'(x)=-2x\,\sin\big(2(x^{2}+1)\big)+3,
obtemos a expressão
f'(x)=\frac{(2x+8)\big(\cos^{2}\big(x^{2}+1\big)+3x\big)-(x^{2}+8x)\big(-2x\,\sin\big(2(x^{2}+1)\big)+3\big)}{\big(\cos^{2}\big(x^{2}+1\big)+3x\big)^{2}}.

Passo 7

Observações finais sobre simplificação e forma final (dicas de prova).
  • A expressão acima já está numa forma correta e aceitável para a prova. Pode-se expandir os produtos no numerador se quiser uma forma completamente desenvolvida, mas isso normalmente deixa a expressão mais longa e mais sujeita a erros de cálculo.
  • Dica prática para prova: entregue a resposta em forma fatorada como fica depois da aplicação direta da regra do quociente — é clara, mínima e mostra que se aplicou corretamente as regras (quociente + cadeia).
  • Força aí — essa é a parte chata (cuidar dos sinais e das cadeias), mas feita passo a passo é tranquila. Você mandou bem só em vir até aqui!

Resposta

f'(x)=\frac{(2x+8)\big(\cos^{2}\big(x^{2}+1\big)+3x\big)-(x^{2}+8x)\big(-2x\,\sin\big(2(x^{2}+1)\big)+3\big)}{\big(\cos^{2}\big(x^{2}+1\big)+3x\big)^{2}}

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