Calcule as derivadas das seguintes funções:
h(x)=\frac{3 \operatorname{sec} (x)-2 \operatorname{sen}(x)}{6 x^{3}+8 \cos (x)}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função
h(x)=\frac{3\operatorname{sec}(x)-2\sin(x)}{6x^{3}+8\cos(x)}.
Informações dadas:
  • Numerador: 3\operatorname{sec}(x)-2\sin(x).
  • Denominador: 6x^{3}+8\cos(x).
    A tarefa é obter h'(x), a derivada de h em função de x.

Passo 2

Vamos lembrar as regras e derivadas básicas que usaremos (com explicações curtas):
  • Regra do quociente: se h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)} então
h'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^{2}}.
Aqui f'(x) e g'(x) são as derivadas do numerador e do denominador, respectivamente.
  • Derivadas trigonométricas básicas:
    • \dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x.
    • \dfrac{d}{dx}\cos x=-\sin x.
    • Derivada de \operatorname{sec} x: escrevendo \operatorname{sec} x=(\cos x)^{-1} e aplicando a regra da cadeia e a regra da potência, \frac{d}{dx}\operatorname{sec} x=\frac{d}{dx}(\cos x)^{-1}=-1(\cos x)^{-2}\cdot(-\sin x)=\frac{\sin x}{\cos^{2}x}=\operatorname{sec} x\tan x.
    • Derivada de potência polinomial: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
      Estas são as ferramentas necessárias.

Passo 3

Identificamos f(x) e g(x):
f(x)=3\operatorname{sec} x-2\sin x,\qquad g(x)=6x^{3}+8\cos x.

Passo 4

Derivamos f(x) termo a termo:
  • \dfrac{d}{dx}[3\operatorname{sec} x]=3\cdot\dfrac{d}{dx}\operatorname{sec} x=3\operatorname{sec} x\tan x.
  • \dfrac{d}{dx}[-2\sin x]=-2\cos x.
    Portanto
f'(x)=3\operatorname{sec} x\tan x-2\cos x.

Passo 5

Derivamos g(x) termo a termo:
  • \dfrac{d}{dx}[6x^{3}]=18x^{2}.
  • \dfrac{d}{dx}[8\cos x]=8\cdot(-\sin x)=-8\sin x.
    Portanto
g'(x)=18x^{2}-8\sin x.

Passo 6

Aplicamos a regra do quociente:
h'(x)=\frac{\big(3\operatorname{sec} x\tan x-2\cos x\big)\big(6x^{3}+8\cos x\big)-\big(3\operatorname{sec} x-2\sin x\big)\big(18x^{2}-8\sin x\big)}{\big(6x^{3}+8\cos x\big)^{2}}.
Este já é um resultado correto e válido. Agora vamos simplificar um pouco o numerador para deixá-lo mais legível.

Passo 7

Expandimos e simplificamos o numerador passo a passo.
Primeiro produto:
\begin{aligned} (3\operatorname{sec} x\tan x-2\cos x)(6x^{3}+8\cos x)={} &18x^{3}\operatorname{sec} x\tan x+24\operatorname{sec} x\tan x\cos x\\\ &-12x^{3}\cos x-16\cos^{2}x. \end{aligned}
Observe que \operatorname{sec} x\tan x\cos x=\tan x, porque \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}. Assim 24\operatorname{sec} x\tan x\cos x=24\tan x.
Segundo produto:
\begin{aligned} (3\operatorname{sec} x-2\sin x)(18x^{2}-8\sin x)={} &54x^{2}\operatorname{sec} x-24\operatorname{sec} x\sin x-36x^{2}\sin x+16\sin^{2}x. \end{aligned}
Note que \operatorname{sec} x\sin x=\tan x.
Agora o numerador N é (primeiro produto menos segundo produto):
\begin{aligned} N={}&18x^{3}\operatorname{sec} x\tan x+24\tan x-12x^{3}\cos x-16\cos^{2}x\\\ &\quad -\big(54x^{2}\operatorname{sec} x-24\operatorname{sec} x\sin x-36x^{2}\sin x+16\sin^{2}x\big). \end{aligned}
Usando \operatorname{sec} x\sin x=\tan x e \sin^{2}x+\cos^{2}x=1, combinamos termos:
  • 24\tan x -(-24\operatorname{sec} x\sin x)=24\tan x+24\tan x=48\tan x.
  • -16\cos^{2}x-16\sin^{2}x=-16(\cos^{2}x+\sin^{2}x)=-16.
    Agrupando os termos restantes obtemos
\begin{aligned} N={}&18x^{3}\operatorname{sec} x\tan x-54x^{2}\operatorname{sec} x+36x^{2}\sin x-12x^{3}\cos x+48\tan x-16. \end{aligned}
Podemos fatorar 18x^{2} em parte dos termos:
N=18x^{2}\big(x\operatorname{sec} x\tan x-3\operatorname{sec} x+2\sin x\big)-12x^{3}\cos x+48\tan x-16.

Passo 8

Portanto uma forma simplificada da derivada é
h'(x)=\frac{18x^{2}\big(x\operatorname{sec} x\tan x-3\operatorname{sec} x+2\sin x\big)-12x^{3}\cos x+48\tan x-16}{\big(6x^{3}+8\cos x\big)^{2}}.

Resposta

h'(x)=\frac{18x^{2}\big(x\operatorname{sec} x\tan x-3\operatorname{sec} x+2\sin x\big)-12x^{3}\cos x+48\tan x-16}{\big(6x^{3}+8\cos x\big)^{2}}

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