Calcule as derivadas das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada da função
Informações dadas:
- Numerador:
. - Denominador:
.
A tarefa é obter, a derivada de em função de .
Passo 2
Vamos lembrar as regras e derivadas básicas que usaremos (com explicações curtas):
- Regra do quociente: se
então
Aqui
e
são as derivadas do numerador e do denominador, respectivamente.
- Derivadas trigonométricas básicas:
-
. -
. - Derivada de
: escrevendo e aplicando a regra da cadeia e a regra da potência, - Derivada de potência polinomial:
.
Estas são as ferramentas necessárias.
-
Passo 3
Identificamos
e
:
Passo 4
Derivamos
termo a termo:
-
. -
.
Portanto
Passo 5
Derivamos
termo a termo:
-
. -
.
Portanto
Passo 6
Aplicamos a regra do quociente:
Este já é um resultado correto e válido. Agora vamos simplificar um pouco o numerador para deixá-lo mais legível.
Passo 7
Expandimos e simplificamos o numerador passo a passo.
Primeiro produto:
Observe que
, porque
. Assim
.
Segundo produto:
Note que
.
Agora o numerador
é (primeiro produto menos segundo produto):
Usando
e
, combinamos termos:
-
. -
.
Agrupando os termos restantes obtemos
Podemos fatorar
em parte dos termos:
Passo 8
Portanto uma forma simplificada da derivada é