Calcule as derivadas das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações importantes que o enunciado dá:
- A função é produto de duas partes: uma contendo
e e outra contendo , e . - Pelo termo
e por (raízes de índice par), a função só está definida para . - Além disso,
é indefinida em (valores onde o cosseno zera); portanto a derivada só faz sentido onde ambos os fatores são definidos (interseção das restrições acima).
O que precisa ser calculado:
.
Passo 2
Método a usar: regra do produto. Vou aplicar a regra do produto porque
é o produto de duas funções diferenciáveis (no domínio considerado). Lembrete da regra do produto (fórmula e explicação curta):
- Se
e são funções diferenciáveis, então
Isto vem da ideia de aproximar a variação do produto usando variações lineares de cada fator — em prova basta memorizar e aplicar com cuidado.
Passo 3
Defino as duas funções que aparecem no produto para organizar:
Queremos então
Passo 4
Calcular
detalhadamente.
Primeiro termo:
. Uso a regra da potência:
- Regra da potência: para
com constante,
Aplicando com
:
Segundo termo:
.
- Regra:
. - A constante -5 puxa para fora:
.
Somando as duas derivadas:
(Se preferir, pode escrever
.)
Passo 5
Calcular
detalhadamente.
Termo a termo:
-
(regra da potência com constante). -
(regra padrão, válida para ). -
: para uma base , temos . Aqui , logo
Somando:
Passo 6
Agora aplico a regra do produto
substituindo
encontrados.
Escrevendo explicitamente:
Se quiser, pode deixar
como
e
como
; ambas formas são equivalentes. Essa expressão é a derivada final, válida para
e para
que não sejam pontos de singularidade de
(ou seja, onde
).