Calcule as derivadas das seguintes funções:
h(x)=(\sqrt[4]{x}-5 \operatorname{tg}(x)) \cdot\left(7 x^{3}+\ln (x)+2^{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
h(x)=\bigl(\sqrt[4]{x}-5\tan(x)\bigr)\cdot\bigl(7x^{3}+\ln(x)+2^{x}\bigr).
Informações importantes que o enunciado dá:
  • A função é produto de duas partes: uma contendo \sqrt[4]{x} e \tan(x) e outra contendo 7x^{3}, \ln(x) e 2^{x}.
  • Pelo termo \ln(x) e por \sqrt[4]{x} (raízes de índice par), a função só está definida para x>0.
  • Além disso, \tan(x) é indefinida em x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi (valores onde o cosseno zera); portanto a derivada só faz sentido onde ambos os fatores são definidos (interseção das restrições acima).
O que precisa ser calculado: \dfrac{d}{dx}h(x).

Passo 2

Método a usar: regra do produto. Vou aplicar a regra do produto porque h é o produto de duas funções diferenciáveis (no domínio considerado). Lembrete da regra do produto (fórmula e explicação curta):
  • Se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, então
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)\,v(x)\bigr)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Isto vem da ideia de aproximar a variação do produto usando variações lineares de cada fator — em prova basta memorizar e aplicar com cuidado.

Passo 3

Defino as duas funções que aparecem no produto para organizar:
u(x)=\sqrt[4]{x}-5\tan(x),\qquad v(x)=7x^{3}+\ln(x)+2^{x}.
Queremos então
h'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).

Passo 4

Calcular u'(x) detalhadamente.
Primeiro termo: \sqrt[4]{x}=x^{1/4}. Uso a regra da potência:
  • Regra da potência: para x^{n} com n constante,
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Aplicando com n=\tfrac{1}{4}:
\frac{d}{dx}x^{1/4}=\frac{1}{4}x^{-3/4}.
Segundo termo: -5\tan(x).
  • Regra: \dfrac{d}{dx}\tan(x)=\operatorname{sec}^{2}(x).
  • A constante -5 puxa para fora: \dfrac{d}{dx}\bigl(-5\tan(x)\bigr)=-5\operatorname{sec}^{2}(x).
Somando as duas derivadas:
u'(x)=\frac{1}{4}x^{-3/4}-5\operatorname{sec}^{2}(x).
(Se preferir, pode escrever \dfrac{1}{4}x^{-3/4}=\dfrac{1}{4x^{3/4}}.)

Passo 5

Calcular v'(x) detalhadamente.
Termo a termo:
  • \dfrac{d}{dx}\bigl(7x^{3}\bigr)=7\cdot 3x^{2}=21x^{2} (regra da potência com constante).
  • \dfrac{d}{dx}\ln(x)=\dfrac{1}{x} (regra padrão, válida para x>0).
  • \dfrac{d}{dx}2^{x}: para uma base a>0, temos \dfrac{d}{dx}a^{x}=a^{x}\ln(a). Aqui a=2, logo
\frac{d}{dx}2^{x}=2^{x}\ln 2.
Somando:
v'(x)=21x^{2}+\frac{1}{x}+2^{x}\ln 2.

Passo 6

Agora aplico a regra do produto h'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) substituindo u,u',v,v' encontrados.
Escrevendo explicitamente:
h'(x)=\left(\frac{1}{4}x^{-3/4}-5\operatorname{sec}^{2}(x)\right)\left(7x^{3}+\ln(x)+2^{x}\right) +\left(\sqrt[4]{x}-5\tan(x)\right)\left(21x^{2}+\frac{1}{x}+2^{x}\ln 2\right).
Se quiser, pode deixar x^{-3/4} como \dfrac{1}{x^{3/4}} e \sqrt[4]{x} como x^{1/4}; ambas formas são equivalentes. Essa expressão é a derivada final, válida para x>0 e para x que não sejam pontos de singularidade de \tan (ou seja, onde \cos x\neq 0).

Resposta

h'(x)=\left(\frac{1}{4}x^{-3/4}-5\operatorname{sec}^{2}(x)\right)\left(7x^{3}+\ln(x)+2^{x}\right) +\left(\sqrt[4]{x}-5\tan(x)\right)\left(21x^{2}+\frac{1}{x}+2^{x}\ln 2\right)

Exercícios relacionados