Calcule as derivadas das seguintes funções:
R(t)=\left(t+e^{t}\right)(3-\sqrt{t})

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
R(t) = \bigl(t + e^{t}\bigr)\bigl(3 - \sqrt{t}\bigr).
O conteúdo necessário é a regra do produto para derivadas e a regra da cadeia ao derivar \sqrt{t}.

Passo 2

Vamos separar em duas funções:
f(t) = t + e^{t}, \quad g(t) = 3 - \sqrt{t}.
Aplicando as derivadas básicas temos:
f'(t) = 1 + e^{t}, \qquad g'(t) = 0 - \frac{1}{2\sqrt{t}} = -\frac{1}{2\sqrt{t}}.

Passo 3

Pela regra do produto,
R'(t) = f'(t)\,g(t) + f(t)\,g'(t).

Passo 4

Substituindo f, f', g, g':
R'(t) = (1 + e^{t})\,(3 - \sqrt{t}) + (t + e^{t})\Bigl(-\frac{1}{2\sqrt{t}}\Bigr).
Reorganizando, fica
R'(t) = (1 + e^{t})(3 - \sqrt{t}) - \frac{t + e^{t}}{2\sqrt{t}}.

Resposta

R'(t) = (1 + e^{t})(3 - \sqrt{t}) - \frac{t + e^{t}}{2\sqrt{t}}.

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