Encontre o domínio de cada função e explique, usando resultados vistos em aula, porque a função é contínua no seu domínio:
H(x)=\cos \left(e^{\sqrt{x}}\right).

Passo 1

O enunciado pede para determinar o conjunto de todos os x para os quais
H(x)=\cos\bigl(e^{\sqrt{x}}\bigr)
está bem definida, ou seja, o domínio de H, e depois mostrar que H é contínua nesse domínio. Vamos usar o fato de que cada função elementar envolvida \sqrt{x}, e^t e \cos u tem domínio conhecido e é contínua em seu domínio, e que a composição de funções contínuas é contínua.

Passo 2

Primeiro, olhamos para o mais interno: \sqrt{x}. Essa função só está definida para x \ge 0. Logo, já temos a restrição
x \in [0,\infty).

Passo 3

Em seguida, consideramos a função exponencial e^t. Ela está definida para todo t \in \mathbb{R}. Como \sqrt{x} toma valores em [0,\infty)\subset\mathbb{R}, não há nova restrição. Depois, a função \cos u está definida para todo u\in\mathbb{R}. Portanto, a única condição para H(x) existir é x\ge0. Isto é, o domínio de H é
\dom H = [0,\infty).

Passo 4

Agora, sobre continuidade:
  1. A função \sqrt{x} é contínua em [0,\infty).
  2. A função e^t é contínua em \mathbb{R}.
  3. A função \cos u é contínua em \mathbb{R}.
Pelo teorema da composição, se f é contínua em A e g é contínua em f(A), então g\circ f é contínua em A. Aplicando isso duas vezes (primeiro a \sqrt{x} e e^t, depois o resultado com \cos), concluímos que
H(x)=\cos\bigl(e^{\sqrt{x}}\bigr)
é contínua para todo x\ge0.

Resposta

O domínio de H é [0,\infty), e H é contínua em todo esse intervalo por ser composição de funções contínuas.

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