Encontre o domínio de cada função e explique, usando resultados vistos em aula, porque a função é contínua no seu domínio:
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o conjunto de todos os
para os quais
está bem definida, ou seja, o domínio de
, e depois mostrar que
é contínua nesse domínio. Vamos usar o fato de que cada função elementar envolvida
,
e
tem domínio conhecido e é contínua em seu domínio, e que a composição de funções contínuas é contínua.
Passo 2
Primeiro, olhamos para o mais interno:
. Essa função só está definida para
Logo, já temos a restrição
Passo 3
Em seguida, consideramos a função exponencial
. Ela está definida para todo
. Como
toma valores em
, não há nova restrição. Depois, a função
está definida para todo
. Portanto, a única condição para
existir é
Isto é, o domínio de
é
Passo 4
Agora, sobre continuidade:
- A função
é contínua em . - A função
é contínua em . - A função
é contínua em .
Pelo teorema da composição, se
é contínua em
e
é contínua em
, então
é contínua em
. Aplicando isso duas vezes (primeiro a
e
, depois o resultado com
), concluímos que
é contínua para todo
.
Resposta
O domínio de
é
, e
é contínua em todo esse intervalo por ser composição de funções contínuas.