Calcule as derivadas sucessivas, até a ordem n dada: y = cosh^9(x), n = 3

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pede para calcular as derivadas sucessivas até a ordem 3 da função . Isso significa que vamos encontrar a primeira, a segunda e a terceira derivada dessa função. Para isso, vamos usar conceitos básicos de derivação, como a regra da cadeia e a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de .
A função é da forma , onde e . Usando a regra da cadeia, a derivada de em relação a é:
Sabemos que a derivada de é . Então, substituindo:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada. Temos:
Aqui, usamos a regra do produto, já que temos o produto de duas funções: e . A derivada do produto é .
Primeiro, derivamos :
E a derivada de é . Então:
Simplificando:

Passo 4

Finalmente, vamos encontrar a terceira derivada. Temos:
Vamos derivar cada termo separadamente.
  1. Para , usamos a regra do produto novamente:
  2. Para , a derivada é:
Juntando tudo:
Simplificando os termos semelhantes:

Resposta

A terceira derivada da função é:

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