Calcule as derivadas usando a regra da cadeia:
Passo 1
Enunciado: Calcule as derivadas usando a regra da cadeia para a função
Informações dadas: a função composta é um logaritmo natural aplicado a um polinômio quadrático. O que é pedido: encontrar
, a derivada de
em termos de
. Dados úteis que vamos usar: a expressão interna
e o fato de o logaritmo natural aparecer como função externa.
Passo 2
Ideia central (regra da cadeia): se tivermos uma função composta da forma
, a derivada é dada por
Explicando com calma: primeiro derivamos a função externa
em relação à sua variável (chame-a de
); depois avaliamos essa derivada em
; por fim multiplicamos pelo crescimento da parte interna
. É como medir quanto a saída muda quando a entrada interna muda, e quanto a entrada interna muda quando
muda — multiplicamos essas taxas.
Passo 3
Identificar externa e interna para o nosso caso: escolha
(componente interna) e
(componente externa). A derivada de
em relação a
é conhecida: a derivada do logaritmo natural é
sobre a própria variável, ou seja
Portanto, pela regra da cadeia,
Isso já é uma fórmula bem prática: para
vale sempre
.
Passo 4
Agora vamos calcular
. Relembre a regra do poder e da soma para derivadas: a derivada de
é
, a derivada de
é
, e a derivada de constante é
. Aplicando a isso:
- derivada de
é , - derivada de
é , - derivada de
é .
Logo
Passo 5
Substituindo
e
na fórmula da cadeia que obtivemos:
Opcionalmente, podemos fatorar o numerador como
, mas o denominador não simplifica com isso (o polinômio do denominador não tem fator comum real com 2 que cancele), então a forma mais direta é a acima.
Passo 6
Comentário final e checagem rápida: faz sentido a forma
— se
cresce rápido, a derivada do
será proporcional a essa taxa relativa
. Também vale lembrar que
só está definida onde
, pois o logaritmo natural exige argumento positivo; isso não altera a derivada formal, mas restringe o domínio onde faz sentido interpretá-la.