Calcule as derivadas usando a regra da cadeia:
f(x)=\ln \left(5 x^{2}+4 x+1\right)

Passo 1

Enunciado: Calcule as derivadas usando a regra da cadeia para a função
f(x)=\ln\left(5x^{2}+4x+1\right).
Informações dadas: a função composta é um logaritmo natural aplicado a um polinômio quadrático. O que é pedido: encontrar f'(x), a derivada de f em termos de x. Dados úteis que vamos usar: a expressão interna 5x^{2}+4x+1 e o fato de o logaritmo natural aparecer como função externa.

Passo 2

Ideia central (regra da cadeia): se tivermos uma função composta da forma \;f(x)=v(u(x))\;, a derivada é dada por
f'(x)=v'\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
Explicando com calma: primeiro derivamos a função externa v em relação à sua variável (chame-a de u); depois avaliamos essa derivada em u(x); por fim multiplicamos pelo crescimento da parte interna u'(x). É como medir quanto a saída muda quando a entrada interna muda, e quanto a entrada interna muda quando x muda — multiplicamos essas taxas.

Passo 3

Identificar externa e interna para o nosso caso: escolha
u(x)=5x^{2}+4x+1
(componente interna) e
v(u)=\ln(u)
(componente externa). A derivada de v em relação a u é conhecida: a derivada do logaritmo natural é 1 sobre a própria variável, ou seja
v'(u)=\frac{1}{u}.
Portanto, pela regra da cadeia,
f'(x)=\frac{1}{u(x)}\cdot u'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Isso já é uma fórmula bem prática: para f(x)=\ln(u(x)) vale sempre f'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}.

Passo 4

Agora vamos calcular u'(x). Relembre a regra do poder e da soma para derivadas: a derivada de a x^{n} é a n x^{n-1}, a derivada de b x é b, e a derivada de constante é 0. Aplicando a isso:
  • derivada de 5x^{2} é 5\cdot 2 x^{1}=10x,
  • derivada de 4x é 4,
  • derivada de 1 é 0.
    Logo
u'(x)=10x+4.

Passo 5

Substituindo u(x) e u'(x) na fórmula da cadeia que obtivemos:
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{10x+4}{5x^{2}+4x+1}.
Opcionalmente, podemos fatorar o numerador como 2(5x+2), mas o denominador não simplifica com isso (o polinômio do denominador não tem fator comum real com 2 que cancele), então a forma mais direta é a acima.

Passo 6

Comentário final e checagem rápida: faz sentido a forma \dfrac{u'(x)}{u(x)} — se u cresce rápido, a derivada do \ln(u) será proporcional a essa taxa relativa u'/u. Também vale lembrar que f só está definida onde u(x)>0, pois o logaritmo natural exige argumento positivo; isso não altera a derivada formal, mas restringe o domínio onde faz sentido interpretá-la.

Resposta

f'(x)=\frac{10x+4}{5x^{2}+4x+1}

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