Calcule as derivadas usando a regra da cadeia:
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas (no plural, então vou fornecer a primeira e a segunda) da função
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
Passo 2
Primeiro vamos lembrar a forma geral da regra da cadeia de maneira intuitiva. Se uma função é composta, isto é, se
onde
é a função interior (ou “interno”) e
é a função exterior (ou “externo”), então a derivada é
O que isto significa: você deriva a função externa em relação à sua variável
, depois substitui
e multiplica pela derivada da função interna
. É como “derivar de fora para dentro” e lembrar de multiplicar pela derivada do que está dentro.
Passo 3
Identificamos as partes da composição para o nosso caso:
Explicando: a função original pega
, eleva ao quadrado (isso é
) e então aplica
ao resultado (isso é
).
Passo 4
Agora derivamos a função externa
em relação a
. A regra básica é:
Então, aplicando a regra da cadeia, a contribuição da parte externa é
.
Passo 5
Derivamos a função interna
. Usamos a regra do expoente (regra do poder): para
, a derivada é
. Aqui
, então
Passo 6
Multiplicando conforme a regra da cadeia (derivada da externa avaliada na interna vezes derivada da interna), obtemos a primeira derivada:
Costuma ficar mais bonito escrito na ordem usual:
Interpretação rápida: primeiro você “abre” o seno, vira cosseno mantendo o argumento
, e depois multiplica por
que vem de derivar
.
Passo 7
Agora vamos calcular a segunda derivada
. Como
, vamos usar a regra do produto: se
então
.\n
Escolha e
.\n
Calculamos:
Escolha
Calculamos:
Para
aplicamos novamente a regra da cadeia: a derivada de
em relação a
é
, e
tem derivada
. Então
Passo 8
Aplicando a regra do produto:
Simplificando os termos:
Podemos fatorar um
se quisermos: