Calcule as derivadas usando a regra da cadeia:
f(x)=\sin \left(x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas (no plural, então vou fornecer a primeira e a segunda) da função \;f(x)=\sin\left(x^{2}\right).\n
Informações dadas:
f(x)=\sin\bigl(x^{2}\bigr).

Passo 2

Primeiro vamos lembrar a forma geral da regra da cadeia de maneira intuitiva. Se uma função é composta, isto é, se
f(x)=F\bigl(u(x)\bigr),
onde u(x) é a função interior (ou “interno”) e F(u) é a função exterior (ou “externo”), então a derivada é
f'(x)=F'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
O que isto significa: você deriva a função externa em relação à sua variável u, depois substitui u=u(x) e multiplica pela derivada da função interna u'(x). É como “derivar de fora para dentro” e lembrar de multiplicar pela derivada do que está dentro.

Passo 3

Identificamos as partes da composição para o nosso caso:
\text{função externa: }F(u)=\sin(u),çã
\text{função interna: }u(x)=x^{2}.çã
Explicando: a função original pega x, eleva ao quadrado (isso é u(x)) e então aplica \sin ao resultado (isso é F).

Passo 4

Agora derivamos a função externa F(u)=\sin(u) em relação a u. A regra básica é:
\frac{d}{du}\sin(u)=\cos(u).
Então, aplicando a regra da cadeia, a contribuição da parte externa é \cos\bigl(u(x)\bigr)=\cos\bigl(x^{2}\bigr).

Passo 5

Derivamos a função interna u(x)=x^{2}. Usamos a regra do expoente (regra do poder): para \;x^{n}, a derivada é \;n x^{n-1}. Aqui n=2, então
u'(x)=\frac{d}{dx}x^{2}=2x.

Passo 6

Multiplicando conforme a regra da cadeia (derivada da externa avaliada na interna vezes derivada da interna), obtemos a primeira derivada:
f'(x)=\cos\bigl(x^{2}\bigr)\cdot 2x.
Costuma ficar mais bonito escrito na ordem usual:
f'(x)=2x\cos\bigl(x^{2}\bigr).
Interpretação rápida: primeiro você “abre” o seno, vira cosseno mantendo o argumento x^{2}, e depois multiplica por 2x que vem de derivar x^{2}.

Passo 7

Agora vamos calcular a segunda derivada f''(x). Como f'(x)=2x\cos\bigl(x^{2}\bigr), vamos usar a regra do produto: se v(x)=a(x)b(x) então v'(x)=a'(x)b(x)+a(x)b'(x).\n
Escolha a(x)=2x e b(x)=\cos\bigl(x^{2}\bigr).\n
Calculamos:
a'(x)=\frac{d}{dx}(2x)=2.
Para b'(x) aplicamos novamente a regra da cadeia: a derivada de \cos(u) em relação a u é -\sin(u), e u(x)=x^{2} tem derivada 2x. Então
b'(x)=\frac{d}{dx}\cos\bigl(x^{2}\bigr)=-\sin\bigl(x^{2}\bigr)\cdot 2x = -2x\sin\bigl(x^{2}\bigr).

Passo 8

Aplicando a regra do produto:
f''(x)=a'(x)b(x)+a(x)b'(x)=2\cdot\cos\bigl(x^{2}\bigr)+2x\cdot\bigl(-2x\sin\bigl(x^{2}\bigr)\bigr).
Simplificando os termos:
f''(x)=2\cos\bigl(x^{2}\bigr)-4x^{2}\sin\bigl(x^{2}\bigr).
Podemos fatorar um 2 se quisermos:
f''(x)=2\Bigl(\cos\bigl(x^{2}\bigr)-2x^{2}\sin\bigl(x^{2}\bigr)\Bigr).

Resposta

f'(x)=2x\cos\bigl(x^{2}\bigr)
f''(x)=2\cos\bigl(x^{2}\bigr)-4x^{2}\sin\bigl(x^{2}\bigr)

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