Calcule as derivadas, usando as regras de derivação:
f(x)=x ln x

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=xln x
definida para x>0. Vamos usar as regras de derivação, em especial a regra do produto e a derivada do logaritmo natural.

Passo 2

A regra do produto para duas funções u(x) e v(x) é
(u(x),v(x))' = u'(x),v(x) + u(x),v'(x)
Também sabemos que
ddxl[ln xr] = 1x

Passo 3

Identificamos
u(x) = x, v(x)=ln x
Logo
u'(x)=1 e v'(x)=1x,
válidos para x>0.

Passo 4

Aplicando a regra do produto:
f'(x) = u'(x),v(x) + u(x),v'(x) = 1cdotln x + xcdot1x = ln x + 1

Passo 5

Concluímos que, para todo x>0,
f'(x)=ln x + 1

Resposta

f'(x)=ln x+1

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