Calcule o determinante dado por meio da redução à forma triangular.
\left|\begin{array}{rrr}4 & -3 & 5 \\\\ 5 & 2 & 6 \\\\ 2 & 0 & 4\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} 4 & -3 & 5\\\\ 5 & 2 & 6\\\\ 2 & 0 & 4 \end{pmatrix}
usando redução à forma triangular. Vamos usar operações elementares de linha que não alteram o valor do determinante, a saber: “somar a uma linha um múltiplo de outra linha”.

Passo 2

Primeiro, anulamos os elementos abaixo de a_{11}=4. Fazemos
R_2 \leftarrow R_2 - \tfrac{5}{4}R_1 \quad\text{e}\quad R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac{1}{2}R_1.
Isso gera a matriz
\begin{pmatrix} 4 & -3 & 5\\\\ 0 & \tfrac{23}{4} & -\tfrac{1}{4}\\\\ 0 & \tfrac{3}{2} & \tfrac{3}{2} \end{pmatrix}.

Passo 3

Em seguida, anulamos o elemento abaixo de a_{22}=\tfrac{23}{4}. Aplicamos
R_3 \leftarrow R_3 - \frac{\tfrac{3}{2}}{\tfrac{23}{4}}\,R_2 = R_3 - \tfrac{6}{23}\,R_2.
O resultado é a matriz triangular superior
\begin{pmatrix} 4 & -3 & 5\\\\ 0 & \tfrac{23}{4} & -\tfrac{1}{4}\\\\ 0 & 0 & \tfrac{36}{23} \end{pmatrix}.

Passo 4

Para uma matriz triangular, o determinante é o produto dos elementos da diagonal. Assim,
\det(A) = 4 \;\times\;\tfrac{23}{4}\;\times\;\tfrac{36}{23} = 36.

Resposta

36

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