Calcule o determinante
\left|\begin{array}{ccccc} 0 & -1 & 0 & 7 & -6 \\ 0 & 2 & 5 & -2 & 1 \\ 0 & -3 & 0 & 7 & 2 \\ 2 & 2 & 3 & 1 & -1 \\ 0 & 5 & 0 & 3 & -2 \end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede o determinante de uma matriz 5\times5. Para resolver, usaremos o desenvolvimento de Laplace (cofatores) aproveitando que há muitos zeros na primeira coluna, o que simplifica bastante o cálculo.

Passo 2

Observamos que na primeira coluna só há um elemento não nulo, a_{41}=2. Pelo desenvolvimento de Laplace nessa coluna:
\det(A) = a_{41}\,(-1)^{4+1}\,\det(A_{41}) = 2\cdot(-1)^{5}\,\det(A_{41}) = -2\,\det(A_{41}),
onde A_{41} é a submatriz que sobra ao eliminar a linha 4 e a coluna 1:
A_{41}= \begin{pmatrix} -1 & 0 & 7 & -6 \\\\ 2 & 5 & -2& 1 \\\\ -3 & 0 & 7 & 2 \\\\ 5 & 0 & 3 & -2 \end{pmatrix}.
Logo definimos M=\det(A_{41}) e ficamos com \det(A)=-2M.

Passo 3

Na matriz A_{41}, a segunda coluna tem apenas um elemento não nulo, a_{22}=5. Desenvolvendo por essa coluna:
M = 5\;(-1)^{2+2}\;\det(N) = 5\,\det(N),
onde N é a submatriz 3\times3 obtida ao eliminar a linha 2 e a coluna 2 de A_{41}:
N = \begin{pmatrix} -1 & 7 & -6 \\\\ -3 & 7 & 2 \\\\ 5 & 3 & -2 \end{pmatrix}.

Passo 4

Agora calculamos (\det(N)$ usando a expansão pela primeira linha:
\det(N) = (-1)\det\!\begin{pmatrix}7 & 2 \\\ 3 & -2\end{pmatrix} -7\det\!\begin{pmatrix}-3 & 2 \\\ 5 & -2\end{pmatrix} +(-6)\det\!\begin{pmatrix}-3 & 7 \\\ 5 & 3\end{pmatrix}.
Cada menor é:
\det\!\begin{pmatrix}7 & 2 \\\ 3 & -2\end{pmatrix} =7\cdot(-2)-2\cdot3=-20,
\det\!\begin{pmatrix}-3 & 2 \\\ 5 & -2\end{pmatrix} =(-3)\cdot(-2)-2\cdot5=-4,
\det\!\begin{pmatrix}-3 & 7 \\\ 5 & 3\end{pmatrix} =(-3)\cdot3-7\cdot5=-44.
Substituindo:
\det(N)=(-1)(-20)-7(-4)+(-6)(-44)=20+28+264=312.
Portanto M=5\cdot312=1560.)

Passo 5

Voltando à fórmula inicial,
\det(A)=-2\,M=-2\cdot1560=-3120.

Resposta

-3120

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