Determine os valores de x que satisfaçam a inequação:
\left|\begin{array}{cccc} 0 & 4 & 0 & 0 \\ x^{2} & x & 6 & x \\ x & 6 & 3 & 4 \\ 0 & 7 & 0 & 1 \end{array}\right|>0

Passo 1

O enunciado pede determinar os valores de x tais que o determinante da matriz
A=\begin{pmatrix} 0 & 4 & 0 & 0\\\ x^{2} & x & 6 & x\\\ x & 6 & 3 & 4\\\\ 0 & 7 & 0 & 1 \end{pmatrix}
seja positivo, ou seja,
\det A>0.
Vamos usar expansão de Laplace (cofatores) sobre a primeira linha, pois ela tem apenas um elemento não nulo.

Passo 2

Na primeira linha só há a_{12}=4 diferente de zero. Pelo sinal do cofator,
\det A = (-1)^{1+2}\,4\;\det B = -4\,\det B,
onde B é a submatriz que resta ao eliminar a linha 1 e a coluna 2 de A.

Passo 3

Formamos a submatriz B:
B = \begin{pmatrix} x^2 & 6 & x\\\ x & 3 & 4\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
e calculamos \det B. Como a terceira linha de B é (0,0,1), expandimos por ela:
\det B = 1\cdot(-1)^{3+3} \det\begin{pmatrix} x^2 & 6\\\ x & 3 \end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix} x^2 & 6\\\ x & 3 \end{pmatrix} = x^2\cdot3 - x\cdot6 = 3x^2 - 6x = 3x(x-2).

Passo 4

Substituindo em \det A=-4\,\det B, obtemos
\det A = -4\cdot\bigl(3x(x-2)\bigr) = -12\,x(x-2).

Passo 5

Resolvendo a inequação
-12\,x(x-2)>0
dividimos por -12 (inverte o sinal):
x(x-2)<0.
Esse produto é negativo exatamente quando x está entre as raízes 0 e 2, ou seja,
0<x<2.

Resposta

(0,2)

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