Calcule o determinante e a matriz inversa (se existir) de cada item abaixo
\left|\begin{array}{rrrr}-1 & 2 & -4 & 5 \\\\ 0 & 3 & 2 & 9 \\\\ 0 & 0 & -4 & -3 \\\\ 0 & 0 & 0 & -5\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado nos dá uma matriz triangular superior 4\times4:
A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & -4 & 5 \\[6pt] 0 & 3 & 2 & 9 \\[6pt] 0 & 0 & -4 & -3 \\[6pt] 0 & 0 & 0 & -5 \end{pmatrix}
O conteúdo é cálculo de determinante e inversa de matriz triangular. Para o determinante, usamos que ele é o produto dos elementos da diagonal. Para a inversa, observamos que, sendo A triangular superior com \det(A)\neq0, sua inversa também é triangular superior e pode ser obtida resolvendo AX=I coluna a coluna por substituição regressiva.]

Passo 2

Como A é triangular superior,
\det(A)=(-1)\cdot3\cdot(-4)\cdot(-5)=-60.

Passo 3

Visto que \det(A)=-60\neq0, a inversa A^{-1} existe e é triangular superior. Para achá-la, resolvemos
A\,X = I_4
coluna a coluna, onde cada coluna x^{(j)} de X satisfaz A\,x^{(j)}=e_j.

Passo 4

Exemplo para a quarta coluna: seja x^{(4)}=(x_{14},x_{24},x_{34},x_{44})^T e e_4=(0,0,0,1)^T. As equações de baixo para cima são:
-5\,x_{44}=1 \quad\Longrightarrow\quad x_{44}=-\tfrac15,
-4\,x_{34}-3\,x_{44}=0 \quad\Longrightarrow\quad x_{34}=\tfrac{3}{20},
3\,x_{24}+2\,x_{34}+9\,x_{44}=0 \quad\Longrightarrow\quad x_{24}=\tfrac12,
-\,x_{14}+2\,x_{24}-4\,x_{34}+5\,x_{44}=0 \quad\Longrightarrow\quad x_{14}=-\tfrac35.

Passo 5

Repetindo o mesmo processo para e_3,e_2,e_1 obtemos todas as colunas de A^{-1}. O resultado é:
A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & \tfrac23 & \tfrac43 & -\tfrac35 \\[6pt] 0 & \tfrac13 & \tfrac16 & \tfrac12 \\[6pt] 0 & 0 & -\tfrac14 & \tfrac{3}{20} \\[6pt] 0 & 0 & 0 & -\tfrac15 \end{pmatrix}.]

Resposta

\det(A) = -60
A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & \tfrac23 & \tfrac43 & -\tfrac35 \\[6pt] 0 & \tfrac13 & \tfrac16 & \tfrac12 \\[6pt] 0 & 0 & -\tfrac14 & \tfrac{3}{20} \\[6pt] 0 & 0 & 0 & -\tfrac15 \end{pmatrix}.]

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