Calcular x na igualdade \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\\ x & 1 & 3 \\\\ 1 & x & 3\end{array}\right|=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores de x que tornam nulo o determinante da matriz
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\[6pt] x & 1 & 3 \\[6pt] 1 & x & 3 \end{pmatrix}.
O conteúdo envolve definição de determinante de matriz 3\times3 e resolução de equação polinomial.]

Passo 2

Vamos usar a expansão por cofatores ao longo da primeira linha. Chamando o determinante de D(x), temos
D(x) =1\cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\[4pt] x & 3 \end{vmatrix} -0\cdot \begin{vmatrix} x & 3 \\[4pt] 1 & 3 \end{vmatrix} +(-1)\cdot \begin{vmatrix} x & 1 \\[4pt] 1 & x \end{vmatrix}.]

Passo 3

Calculando cada menor:
\begin{vmatrix} 1 & 3 \\[4pt] x & 3 \end{vmatrix} =1\cdot3-3\cdot x=3-3x, \qquad \begin{vmatrix} x & 1 \\[4pt] 1 & x \end{vmatrix} =x\cdot x-1\cdot1=x^2-1.
Logo
D(x)=(3-3x)-\bigl(x^2-1\bigr) =-x^2-3x+4.]

Passo 4

Igualando D(x)=0 obtemos a equação quadrática
-x^2-3x+4=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^2+3x-4=0.
Usando a fórmula de Bhaskara, o discriminante é
\Delta=3^2-4\cdot1\cdot(-4)=9+16=25.

Passo 5

As raízes são
x=\frac{-3\pm\sqrt{25}}{2} =\frac{-3\pm5}{2},
isto é,
x=1 \quad\text{ou}\quad x=-4.

Resposta

x=1 ou x=-4

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