Calcule o determinante e a matriz inversa (se existir) de cada item abaixo
\left|\begin{array}{lll}3 & 2 & 5 \\\\ 4 & 1 & 3 \\\\ 2 & 3 & 4\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante e, caso ele seja diferente de zero, a matriz inversa de
A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 5\\\\ 4 & 1 & 3\\\\ 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}.
O conteúdo envolvido é cálculo de determinante de matriz 3\times3 (podendo usar a regra de Sarrus) e, se \det(A)\neq0, construção da matriz de cofatores, sua transposta (adjunta) e divisão por \det(A).

Passo 2

Aplicando a regra de Sarrus para \det(A):
Somatórios principais
3\cdot1\cdot4 + 2\cdot3\cdot2 + 5\cdot4\cdot3 = 12 + 12 + 60 = 84,
somatórios secundários
5\cdot1\cdot2 + 3\cdot3\cdot4 + 4\cdot4\cdot2 = 10 + 36 + 32 = 78.
Logo
\det(A) = 84 - 78 = 6.

Passo 3

Como \det(A)=6\neq0, a inversa existe. Vamos calcular a matriz de cofatores C=(C_{ij}), onde
C_{ij} = (-1)^{i+j}\det(M_{ij}),
e M_{ij} é o menor obtido ao remover linha i e coluna j de A. Encontramos:
C = \begin{pmatrix} -5 & -10 & 10\\\\ 7 & 2 & -5\\\\ 1 & 11 & -5 \end{pmatrix}.

Passo 4

A adjunta de A (ou matriz transposta dos cofatores) é
\adj(A) = C^{T} = \begin{pmatrix} -5 & 7 & 1\\\\ -10 & 2 & 11\\\\ 10 & -5 & -5 \end{pmatrix}.
Portanto a inversa é
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\adj(A) = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} -5 & 7 & 1\\\\ -10 & 2 & 11\\\\ 10 & -5 & -5 \end{pmatrix}.

Resposta

\det(A)=6
A^{-1} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} -5 & 7 & 1\\\\ -10 & 2 & 11\\\\ 10 & -5 & -5 \end{pmatrix}.

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