Calcule o determinante e a matriz inversa (se existir) de cada item abaixo
\mathrm{A}=\left[\begin{array}{cccc}-1 & 2 & 3 & -4 \\\\ 4 & 2 & 0 & 0 \\\\ -1 & 2 & -3 & 0 \\\\ 2 & 5 & 3 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante e, se existir, a inversa da matriz
A=\begin{pmatrix} -1 & 2 & 3 & -4\\\\ 4 & 2 & 0 & 0\\\\ -1 & 2 & -3 & 0\\\\ 2 & 5 & 3 & 1 \end{pmatrix}
O conteúdo envolve o uso de expansão por cofatores para o determinante e, depois, a formação da matriz de cofatores (adjugata) para obter a inversa.

Passo 2

Para calcular \det(A), usamos expansão por cofatores ao longo da segunda linha, pois ali há dois zeros:
\det(A) = a_{21}\,C_{21} + a_{22}\,C_{22} + a_{23}\,C_{23} + a_{24}\,C_{24}
Como a_{23}=a_{24}=0, resta
\det(A) = 4\,C_{21} + 2\,C_{22}.
Aqui
C_{21}=(-1)^{2+1}\det(M_{21}),\quad C_{22}=(-1)^{2+2}\det(M_{22}),
onde M_{21} e M_{22} são os menores correspondentes.

Passo 3

Calculemos os menores:
M_{21}=\begin{pmatrix} 2 & 3 & -4\\\\ 2 & -3 & 0\\\\ 5 & 3 & 1 \end{pmatrix},\quad \det(M_{21})=-96, \quad C_{21}=(-1)^3(-96)=96.
M_{22}=\begin{pmatrix} -1 & 3 & -4\\\\ -1 & -3 & 0\\\\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix},\quad \det(M_{22})=-6, \quad C_{22}=(-1)^4(-6)=-6.
Substituindo em \det(A):
\det(A)=4\cdot 96 + 2\cdot(-6)=384 -12 = 372.

Passo 4

Como \det(A)=372\neq 0, a matriz A é invertível. Para achar A^{-1}, formamos a matriz de cofatores C=(C_{ij}), depois a adjugata \operatorname{adj}(A)=C^{T} e, enfim,
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\,\operatorname{adj}(A).

Passo 5

Calculando os cofatores C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}) para todos os i,j, encontra-se
C=\begin{pmatrix} -6 & 12 & 10 & -78\\\\ 96 & -6 & -36 & -54\\\\ -30 & 60 & -74 & -18\\\\ -24 & 48 & 40 & 60 \end{pmatrix}, \qquad \operatorname{adj}(A)=C^{T}= \begin{pmatrix} -6 & 96 & -30 & -24\\\\ 12 & -6 & 60 & 48\\\\ 10 & -36 & -74 & 40\\\\ -78 & -54 & -18 & 60 \end{pmatrix}.
Portanto
A^{-1} =\frac{1}{372} \begin{pmatrix} -6 & 96 & -30 & -24\\\\ 12 & -6 & 60 & 48\\\\ 10 & -36 & -74 & 40\\\\ -78 & -54 & -18 & 60 \end{pmatrix}.

Resposta

O determinante é 372 e
A^{-1} =\frac{1}{372} \begin{pmatrix} -6 & 96 & -30 & -24\\\\ 12 & -6 & 60 & 48\\\\ 10 & -36 & -74 & 40\\\\ -78 & -54 & -18 & 60 \end{pmatrix}.

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