Calcule o determinante e a matriz inversa (se existir) de cada item abaixo
\left|\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 & 0 \\\\ 3 & -2 & 1 & 5 \\\\ 6 & 0 & -1 & 4 \\\\ -5 & 0 & 3 & 2\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante e, se existir, a inversa da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0\\\\ 3 & -2 & 1 & 5\\\\ 6 & 0 & -1 & 4\\\\ -5 & 0 & 3 & 2 \end{pmatrix}.
O conteúdo usado será cálculo de determinante por expansão e inversa por Gauss–Jordan.

Passo 2

Para achar \det(A) expandimos ao longo da segunda coluna, que tem três zeros. Só o elemento a_{22}=-2 contribui:
\det(A) = (-2)\cdot(-1)^{2+2}\det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\\\ 6 & -1 & 4\\\\ -5 & 3 & 2 \end{pmatrix}.
O determinante do 3\times3 é
1\cdot((-1)\cdot2 - 4\cdot3)\;-\;2\cdot(6\cdot2 -4\cdot(-5)) =-14 \;-\;2\cdot32 = -78.
Logo
\det(A) = -2\cdot(-78) = 156.

Passo 3

Montamos a matriz aumentada \bigl[A\mid I_4\bigr] e eliminamos abaixo de a_{11}=1:
\mathrm{R}_2\leftarrow \mathrm{R}_2-3\,\mathrm{R}_1,\quad \mathrm{R}_3\leftarrow \mathrm{R}_3-6\,\mathrm{R}_1,\quad \mathrm{R}_4\leftarrow \mathrm{R}_4+5\,\mathrm{R}_1.

Passo 4

Agora pivotamos na coluna 2. O novo a_{22}=-2 e dividimos:
\mathrm{R}_2\leftarrow \mathrm{R}_2/(-2).
Como já não há outros não-zeros na coluna 2, seguimos para a coluna 3.

Passo 5

Na coluna 3 o pivô é -13 (na linha 3). Fazemos
\mathrm{R}_3\leftarrow \mathrm{R}_3/(-13),
e então zeramos as outras entradas da coluna 3 usando combinações com \mathrm{R}_3.

Passo 6

Na coluna 4 sobra o pivô 6 em \mathrm{R}_4. Dividimos
\mathrm{R}_4\leftarrow \mathrm{R}_4/6
e então eliminamos as demais entradas da coluna 4 usando \mathrm{R}_4.

Passo 7

Ao final, a parte esquerda vira I_4 e a direita é A^{-1}. O resultado é
A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{7}{39} & 0 & \frac{2}{39} & -\frac{4}{39}\\[6pt] \frac{3}{52} & -\tfrac12 & \frac{25}{52} & \frac{15}{52}\\[6pt] \frac{16}{39}& 0 & -\frac{1}{39} & \frac{2}{39}\\[6pt] -\tfrac16 & 0 & \tfrac16 & \tfrac16 \end{pmatrix}.]

Resposta

\det(A)=156.
A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{7}{39} & 0 & \frac{2}{39} & -\frac{4}{39}\\[6pt] \frac{3}{52} & -\tfrac12 & \frac{25}{52} & \frac{15}{52}\\[6pt] \frac{16}{39}& 0 & -\frac{1}{39} & \frac{2}{39}\\[6pt] -\tfrac16 & 0 & \tfrac16 & \tfrac16 \end{pmatrix}.]

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