Informações relevantes que vou usar (propriedades elementares de determinantes, listadas para referência):
Trocar duas linhas multiplica o determinante por -1.
Multiplicar uma linha por um escalar c multiplica o determinante por c.
Adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante.
Se numa coluna (ou linha) só um elemento for diferente de zero, dá para expandir facilmente por essa coluna (ou linha).
Ao fazer eliminação por linhas, quando obtiver zeros abaixo de um pivô, posso expandir por essa coluna para reduzir a dimensão do cálculo.
A resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Estratégia de resolução (por que escolhi este método):
Para matrizes de ordem 4 e 5 a forma prática é usar operações elementares por linhas para zerar colunas abaixo de um pivô e depois expandir por uma coluna com muitos zeros (eliminação por Gauss até triangularizar). Vou preferir operações do tipo “somar múltiplos de uma linha a outra” (que não mudam o determinante), e quando necessário usar multiplicações por escalares e anotar seu efeito. Isso evita cálculos pesados com cofactores.
Começo por A.
Passo 3
Resolvendo \det(A). Primeiro, faço operações para zerar as entradas abaixo de a_{11}=2 na primeira coluna, usando apenas somas de múltiplos da primeira linha (operações que não alteram o determinante).
Operações (todas preservam o determinante):
R_2 \leftarrow R_2 + R_1
R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac{1}{2}R_1
R_4 \leftarrow R_4 + \tfrac{1}{2}R_1
Aplicando essas operações obtemos a matriz equivalente
Agora a primeira coluna tem zeros nas linhas 2,3,4. Logo posso expandir o determinante por essa primeira coluna: só o elemento a_{11}=2 contribui. Assim
\det(A)=2\cdot\det(M),
onde M é o subdeterminante 3\times3 obtido removendo a linha 1 e a coluna 1:
Breve interpretação didática sobre o que foi feito (resumo que serve na prova):
Zerando as entradas abaixo de um pivô e expandindo por essa coluna reduzimos o cálculo para determinantes menores.
Adicionar múltiplos de uma linha a outra não altera o determinante, então é uma ferramenta segura para criar zeros.
No fim obtivemos \det(A)=-4.
Agora calculo \det(B).
Passo 7
Resolvendo \det(B). Primeiro passo: usar a_{11}=6 como pivô e zerar as entradas abaixo na primeira coluna com operações do tipo R_i \leftarrow R_i - (\text{coef})R_1 (essas operações preservam o determinante).
Faço as seguintes operações (cada uma é “linha \leftarrow linha - \lambda \cdot) linha 1”):
Agora, expandindo por essa primeira coluna (apenas 6 contribui), temos
\det(B)=6\cdot\det(M),
onde M é o 4\times4 submatriz das linhas 2 a 5 e colunas 2 a 5 — note que M tem frações.]
Passo 8
Para evitar frações longas faço uma transformação conveniente: multiplico cada linha de M por 6 para obter uma matriz inteira N. Cabe lembrar do efeito sobre o determinante: multiplicar uma linha por 6 multiplica o determinante por 6; multiplicar as 4 linhas por 6 multiplicaria o determinante por 6^4. Portanto, se N é a matriz obtida por N=6\cdot M aplicando o fator 6 em todas as 4 linhas, vale
\det(N)=6^4\det(M).
Reescrevendo \det(B)=6\det(M) em termos de \det(N):