Calcule os determinantes para cada matriz.
A=\left(\begin{array}{cccc} 2 & 5 & -3 & -2 \\\\ -2 & -3 & 2 & -5 \\\\ 1 & 3 & -2 & 2 \\\\ -1 & -6 & 4 & 3 \end{array}\right) \quad B=\left(\begin{array}{ccccc} 6 & 2 & 1 & 0 & 5 \\\\ 2 & 1 & 1 & -2 & 1 \\\\ 1 & 1 & 2 & -2 & 3 \\\\ 3 & 0 & 2 & 3 & -1 \\\\ -1 & -1 & -3 & 4 & 2 \end{array}\right)
Ação 1: em cada item, reconheça as matrizes e aplique métodos e propriedades para resolver.

Passo 1

O enunciado pede para calcular os determinantes das duas matrizes dadas. Vou listar claramente as duas matrizes (peguei esses números do enunciado):
A=\begin{pmatrix} 2 & 5 & -3 & -2 \\\\ -2 & -3 & 2 & -5 \\\\ 1 & 3 & -2 & 2 \\\\ -1 & -6 & 4 & 3 \end{pmatrix}
B=\begin{pmatrix} 6 & 2 & 1 & 0 & 5 \\\\ 2 & 1 & 1 & -2 & 1 \\\\ 1 & 1 & 2 & -2 & 3 \\\\ 3 & 0 & 2 & 3 & -1 \\\\ -1 & -1 & -3 & 4 & 2 \end{pmatrix}
O que se pede:
  • Calcular \det(A).
  • Calcular \det(B).
Informações relevantes que vou usar (propriedades elementares de determinantes, listadas para referência):
  • Trocar duas linhas multiplica o determinante por -1.
  • Multiplicar uma linha por um escalar c multiplica o determinante por c.
  • Adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante.
  • Se numa coluna (ou linha) só um elemento for diferente de zero, dá para expandir facilmente por essa coluna (ou linha).
  • Ao fazer eliminação por linhas, quando obtiver zeros abaixo de um pivô, posso expandir por essa coluna para reduzir a dimensão do cálculo.
A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Estratégia de resolução (por que escolhi este método):
  • Para matrizes de ordem 4 e 5 a forma prática é usar operações elementares por linhas para zerar colunas abaixo de um pivô e depois expandir por uma coluna com muitos zeros (eliminação por Gauss até triangularizar). Vou preferir operações do tipo “somar múltiplos de uma linha a outra” (que não mudam o determinante), e quando necessário usar multiplicações por escalares e anotar seu efeito. Isso evita cálculos pesados com cofactores.
Começo por A.

Passo 3

Resolvendo \det(A). Primeiro, faço operações para zerar as entradas abaixo de a_{11}=2 na primeira coluna, usando apenas somas de múltiplos da primeira linha (operações que não alteram o determinante).
Operações (todas preservam o determinante):
R_2 \leftarrow R_2 + R_1
R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac{1}{2}R_1
R_4 \leftarrow R_4 + \tfrac{1}{2}R_1
Aplicando essas operações obtemos a matriz equivalente
\begin{pmatrix} 2 & 5 & -3 & -2 \\\\ 0 & 2 & -1 & -7 \\\\ 0 & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & 3 \\\\ 0 & -\tfrac{7}{2} & \tfrac{5}{2} & 2 \end{pmatrix}.
Agora a primeira coluna tem zeros nas linhas 2,3,4. Logo posso expandir o determinante por essa primeira coluna: só o elemento a_{11}=2 contribui. Assim
\det(A)=2\cdot\det(M),
onde M é o subdeterminante 3\times3 obtido removendo a linha 1 e a coluna 1:
M=\begin{pmatrix} 2 & -1 & -7\\[4pt] \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & 3\\[4pt] -\tfrac{7}{2} & \tfrac{5}{2} & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Calculo \det(M). Faço eliminação na primeira coluna de M (usar apenas subtrações de múltiplos da primeira linha):
Operações (não mudam \det(M)):
R_2 \leftarrow R_2 - \tfrac{1}{4}R_1, \qquad R_3 \leftarrow R_3 + \tfrac{7}{4}R_1.
Cálculo explícito:
  • R_2: \bigl(\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2},3\bigr) - \tfrac{1}{4}\bigl(2,-1,-7\bigr) = (0,-\tfrac{1}{4},\tfrac{19}{4}).
  • R_3: \bigl(-\tfrac{7}{2},\tfrac{5}{2},2\bigr) + \tfrac{7}{4}\bigl(2,-1,-7\bigr) = (0,\tfrac{3}{4},-\tfrac{41}{4}).
Assim
M=\begin{pmatrix} 2 & -1 & -7\\[4pt] 0 & -\tfrac{1}{4} & \tfrac{19}{4}\\[4pt] 0 & \tfrac{3}{4} & -\tfrac{41}{4} \end{pmatrix}.
Expandindo por essa primeira coluna (só 2 contribui):
\det(M)=2\cdot\det\begin{pmatrix} -\tfrac{1}{4} & \tfrac{19}{4}\\[4pt] \tfrac{3}{4} & -\tfrac{41}{4} \end{pmatrix}.]

Passo 5

Calculei o 2\times2:
\det\begin{pmatrix} -\tfrac{1}{4} & \tfrac{19}{4}\\[4pt] \tfrac{3}{4} & -\tfrac{41}{4} \end{pmatrix} = \left(-\tfrac{1}{4}\right)\left(-\tfrac{41}{4}\right) - \left(\tfrac{19}{4}\right)\left(\tfrac{3}{4}\right) = \tfrac{41}{16} - \tfrac{57}{16} = -\tfrac{16}{16} = -1.
Logo
\det(M)=2\cdot(-1)=-2.
Voltando,
\det(A)=2\cdot\det(M)=2\cdot(-2)=-4.]

Passo 6

Breve interpretação didática sobre o que foi feito (resumo que serve na prova):
  • Zerando as entradas abaixo de um pivô e expandindo por essa coluna reduzimos o cálculo para determinantes menores.
  • Adicionar múltiplos de uma linha a outra não altera o determinante, então é uma ferramenta segura para criar zeros.
  • No fim obtivemos \det(A)=-4.
Agora calculo \det(B).

Passo 7

Resolvendo \det(B). Primeiro passo: usar a_{11}=6 como pivô e zerar as entradas abaixo na primeira coluna com operações do tipo R_i \leftarrow R_i - (\text{coef})R_1 (essas operações preservam o determinante).
Faço as seguintes operações (cada uma é “linha \leftarrow linha - \lambda \cdot) linha 1”):
R_2 \leftarrow R_2 - \tfrac{1}{3}R_1, \qquad R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac{1}{6}R_1, \qquad R_4 \leftarrow R_4 - \tfrac{1}{2}R_1, \qquad R_5 \leftarrow R_5 + \tfrac{1}{6}R_1.
Aplicando isso obtemos (apresentei apenas as linhas 2 a 5 já transformadas):
\begin{pmatrix} 6 & 2 & 1 & 0 & 5\\[4pt] 0 & \tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3} & -2 & -\tfrac{2}{3}\\[4pt] 0 & \tfrac{2}{3} & \tfrac{11}{6} & -2 & \tfrac{13}{6}\\[4pt] 0 & -1 & \tfrac{3}{2} & 3 & -\tfrac{7}{2}\\[4pt] 0 & -\tfrac{2}{3} & -\tfrac{17}{6} & 4 & \tfrac{17}{6} \end{pmatrix}.
Agora, expandindo por essa primeira coluna (apenas 6 contribui), temos
\det(B)=6\cdot\det(M),
onde M é o 4\times4 submatriz das linhas 2 a 5 e colunas 2 a 5 — note que M tem frações.]

Passo 8

Para evitar frações longas faço uma transformação conveniente: multiplico cada linha de M por 6 para obter uma matriz inteira N. Cabe lembrar do efeito sobre o determinante: multiplicar uma linha por 6 multiplica o determinante por 6; multiplicar as 4 linhas por 6 multiplicaria o determinante por 6^4. Portanto, se N é a matriz obtida por N=6\cdot M aplicando o fator 6 em todas as 4 linhas, vale
\det(N)=6^4\det(M).
Reescrevendo \det(B)=6\det(M) em termos de \det(N):
\det(B)=6\cdot\det(M)=6\cdot\frac{\det(N)}{6^4}=\frac{\det(N)}{6^3}=\frac{\det(N)}{216}.
Agora formo N explicitamente (cada linha de M vezes 6):
N=\begin{pmatrix} 2 & 4 & -12 & -4\\[4pt] 4 & 11 & -12 & 13\\[4pt] -6 & 9 & 18 & -21\\[4pt] -4 & -17 & 24 & 17 \end{pmatrix}.
Então vou calcular \det(N) (inteiro) e depois dividir por 216.]

Passo 9

Calculo de \det(N) por eliminação (operações que não alteram o determinante: somar múltiplos de linhas a outra):
Parto de
\begin{pmatrix} 2 & 4 & -12 & -4\\[4pt] 4 & 11 & -12 & 13\\[4pt] -6 & 9 & 18 & -21\\[4pt] -4 & -17 & 24 & 17 \end{pmatrix}.
Eliminação usando r_1 como pivô:
r_2 \leftarrow r_2 - 2r_1 \quad (\Rightarrow \; r_2=[0,3,12,21])
r_3 \leftarrow r_3 + 3r_1 \quad (\Rightarrow \; r_3=[0,21,-18,-33])
r_4 \leftarrow r_4 + 2r_1 \quad (\Rightarrow \; r_4=[0,-9,0,9])
A matriz fica (com zeros na primeira coluna exceto o primeiro pivô):
\begin{pmatrix} 2 & 4 & -12 & -4\\[4pt] 0 & 3 & 12 & 21\\[4pt] 0 & 21 & -18 & -33\\[4pt] 0 & -9 & 0 & 9 \end{pmatrix}.
Agora o determinante de N é 2 vezes o determinante do subbloco 3\times3 formado pelas últimas três linhas e colunas 2–4. Denote esse subbloco por S:
S=\begin{pmatrix} 3 & 12 & 21\\[4pt] 21 & -18 & -33\\[4pt] -9 & 0 & 9 \end{pmatrix}.]

Passo 10

Continuo a eliminação sobre S. Uso a primeira linha de S para zerar a primeira coluna abaixo:
\text{(no bloco)}\quad r_2 \leftarrow r_2 - 7 r_1 \quad(\Rightarrow\; r_2=[0,-102,-180])
\text{(no bloco)}\quad r_3 \leftarrow r_3 + 3 r_1 \quad(\Rightarrow\; r_3=[0,36,72])
Assim
S=\begin{pmatrix} 3 & 12 & 21\\[4pt] 0 & -102 & -180\\[4pt] 0 & 36 & 72 \end{pmatrix}.
Expandindo por primeira coluna do bloco S (só o elemento 3 contribui):
\det(S)=3\cdot\det\begin{pmatrix} -102 & -180\\[4pt] 36 & 72 \end{pmatrix}.
Calcule o 2\times2:
(-102)\cdot72 - (-180)\cdot36 = -7344 - (-6480) = -864.
Logo
\det(S)=3\cdot(-864)=-2592.
Então \det(N)=2\cdot\det(S)=2\cdot(-2592)=-5184.]

Passo 11

Volto para \det(B) usando a relação \det(B)=\dfrac{\det(N)}{216}:
\det(B)=\dfrac{-5184}{216}=-24.
Resumo didático curto sobre o processo de B:
  • Zeramos a coluna 1 com operações que não alteram o determinante e expandimos por essa coluna (obtemos um fator 6 devido ao elemento a_{11}=6).
  • Para evitar frações multiplicamos as 4 linhas restantes por 6 (isto gerou a relação com \det(N)) e calculamos \det(N) por eliminação inteira.
  • No fim ajustamos pela constante 216=6^3 que apareceu ao relacionar \det(N) com \det(B).

Resposta

\det(A)=-4
\det(B)=-24

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