Mostre que o grupo \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2}, com a operação usual do produto cartesiano, é abeliano, mas não é cíclico.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que ele pede:
  • Dá o grupo \mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2} com a operação usual do produto cartesiano (ou seja, adição coordenada a coordenada módulo 2).
  • Pede duas coisas:
    1. Mostrar que o grupo é abeliano (ou seja, que a operação é comutativa).
    2. Mostrar que o grupo não é cíclico (ou seja, que não existe um elemento que gere todo o grupo).

Passo 2

Definições e descrição da operação (mastigando bem).
  • Primeiro, \mathbb{Z}_{2} é o conjunto \{0,1\} com adição módulo 2. Isso significa que 0+0=0, 0+1=1, 1+0=1 e 1+1=0.
  • O produto cartesiano \mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2} é o conjunto de pares \{(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)\}.
  • A operação no grupo é a adição coordenada: para quaisquer (a,b),(c,d)\in\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2},
(a,b)+(c,d)=(a+c,\;b+d),
onde as somas a+c e b+d são feitas em \mathbb{Z}_{2} (isto é, módulo 2).
  • Identidade e inversos (para lembrar): a identidade é (0,0) porque (a,b)+(0,0)=(a+0,b+0)=(a,b). Em \mathbb{Z}_{2} cada elemento é seu próprio inverso ( x+x=0), logo cada elemento (a,b) tem inverso (a,b) (pois (a,b)+(a,b)=(0,0)).

Passo 3

Prova de que é abeliano (passo a passo).
  • Para ser abeliano precisamos que para todos (a,b),(c,d) valha
(a,b)+(c,d)=(c,d)+(a,b).
  • Calcule o lado esquerdo usando coordenas:
(a,b)+(c,d)=(a+c,\;b+d).
  • Calcule o lado direito:
(c,d)+(a,b)=(c+a,\;d+b).
  • Como a adição em \mathbb{Z}_{2} é comutativa, temos a+c=c+a e b+d=d+b. Portanto
(a+c,\;b+d)=(c+a,\;d+b).
  • Conclusão do raciocínio: para quaisquer (a,b),(c,d) a soma é igual trocando a ordem, logo a operação é comutativa e o grupo é abeliano.

Passo 4

O que significa ser cíclico e estratégia para mostrar que não é cíclico.
  • Um grupo finito é cíclico se existe um elemento cujo subgrupo gerado é todo o grupo. Em outras palavras, existe g tal que
\langle g\rangle = \{\, ng \mid n\in\mathbb{Z}\,\}
(contando iterações da operação) e esse conjunto tem tamanho igual ao do grupo.
  • Aqui \mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2} tem ordem 4 (quatro elementos). Se fosse cíclico, deveria existir um elemento de ordem 4 (pois o gerador teria ordem igual à ordem do grupo).

Passo 5

Mostrando que nenhum elemento tem ordem 4 (portanto não é cíclico).
  • Liste os elementos explicita e calcule suas ordens:
    • (0,0) é a identidade e tem ordem 1.
    • Tome um elemento não nulo qualquer, por exemplo (1,0). Calcule duas vezes ele:
    (1,0)+(1,0)=(1+1,\;0+0)=(0,0).Logo (1,0) tem ordem 2.
    • O mesmo acontece com (0,1):
    (0,1)+(0,1)=(0+0,\;1+1)=(0,0),então (0,1) tem ordem 2.
    • E com (1,1):
    (1,1)+(1,1)=(1+1,\;1+1)=(0,0),então (1,1) tem ordem 2.
  • Observação geral e elegante: para qualquer (a,b)\in\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2},
(a,b)+(a,b)=(a+a,\;b+b)=(0,0),
porque x+x=0 em \mathbb{Z}_{2}. Portanto todo elemento tem ordem 1 ou 2; não existe elemento de ordem 4.
  • Consequência: nenhum elemento gera os quatro elementos do grupo (cada elemento não-identidade gera apenas o subgrupo \{(0,0),(a,b)\} de ordem 2). Logo não há gerador único do grupo.

Passo 6

Resumo do raciocínio (sem repetir literalmente a resposta final, só reforçando a conclusão do argumento):
  • Mostramos que a soma é coordenada e que a adição em \mathbb{Z}_{2} é comutativa, portanto \mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2} é comutativo (abeliano).
  • Mostramos que todo elemento não identidade tem ordem 2, então não existe elemento de ordem 4; por isso nenhum elemento gera todo o grupo de ordem 4, logo o grupo não é cíclico.
  • Força aí — é comum confundir com \mathbb{Z}_{4}, que tem ordem 4 e é cíclico; aqui a diferença é que \mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2} é o chamado “grupo Klein” onde todos os elementos de ordem diferente de 1 têm ordem 2.

Resposta

É abeliano.
Não é cíclico.

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