Mostre que o grupo
, com a operação usual do produto cartesiano, é abeliano, mas não é cíclico.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que ele pede:
- Dá o grupo
com a operação usual do produto cartesiano (ou seja, adição coordenada a coordenada módulo ). - Pede duas coisas:
- Mostrar que o grupo é abeliano (ou seja, que a operação é comutativa).
- Mostrar que o grupo não é cíclico (ou seja, que não existe um elemento que gere todo o grupo).
Passo 2
Definições e descrição da operação (mastigando bem).
- Primeiro,
é o conjunto com adição módulo . Isso significa que , , e . - O produto cartesiano
é o conjunto de pares . - A operação no grupo é a adição coordenada: para quaisquer
,
onde as somas
e
são feitas em
(isto é, módulo
).
- Identidade e inversos (para lembrar): a identidade é
porque . Em cada elemento é seu próprio inverso ( ), logo cada elemento tem inverso (pois ).
Passo 3
Prova de que é abeliano (passo a passo).
- Para ser abeliano precisamos que para todos
valha
- Calcule o lado esquerdo usando coordenas:
- Calcule o lado direito:
- Como a adição em
é comutativa, temos e . Portanto
- Conclusão do raciocínio: para quaisquer
a soma é igual trocando a ordem, logo a operação é comutativa e o grupo é abeliano.
Passo 4
O que significa ser cíclico e estratégia para mostrar que não é cíclico.
- Um grupo finito é cíclico se existe um elemento cujo subgrupo gerado é todo o grupo. Em outras palavras, existe
tal que
(contando iterações da operação) e esse conjunto tem tamanho igual ao do grupo.
- Aqui
tem ordem (quatro elementos). Se fosse cíclico, deveria existir um elemento de ordem (pois o gerador teria ordem igual à ordem do grupo).
Passo 5
Mostrando que nenhum elemento tem ordem
(portanto não é cíclico).
- Liste os elementos explicita e calcule suas ordens:
-
é a identidade e tem ordem . - Tome um elemento não nulo qualquer, por exemplo
. Calcule duas vezes ele:
Logo tem ordem . - O mesmo acontece com
:
então tem ordem . - E com
:
então tem ordem . -
- Observação geral e elegante: para qualquer
,
porque
em
. Portanto todo elemento tem ordem
ou
; não existe elemento de ordem
.
- Consequência: nenhum elemento gera os quatro elementos do grupo (cada elemento não-identidade gera apenas o subgrupo
de ordem ). Logo não há gerador único do grupo.
Passo 6
Resumo do raciocínio (sem repetir literalmente a resposta final, só reforçando a conclusão do argumento):
- Mostramos que a soma é coordenada e que a adição em
é comutativa, portanto é comutativo (abeliano). - Mostramos que todo elemento não identidade tem ordem
, então não existe elemento de ordem ; por isso nenhum elemento gera todo o grupo de ordem , logo o grupo não é cíclico. - Força aí — é comum confundir com
, que tem ordem e é cíclico; aqui a diferença é que é o chamado “grupo Klein” onde todos os elementos de ordem diferente de têm ordem .
Resposta
É abeliano.
Não é cíclico.
Não é cíclico.