Calcule os determinantes:
\left|\begin{array}{lll}3 & 4 & 2 \\\\ 1 & 5 & 1 \\\\ 2 & 3 & 4\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz 3\times3
\begin{pmatrix} 3 & 4 & 2\\[4pt] 1 & 5 & 1\\[4pt] 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}.
Vou listar os elementos para ficar claro:
a=3,\quad b=4,\quad c=2,\quad d=1,\quad e=5,\quad f=1,\quad g=2,\quad h=3,\quad i=4.]

Passo 2

Uma maneira rápida para matrizes 3\times3 é usar a regra de Sarrus. Para uma matriz genérica
\begin{pmatrix} a & b & c\\[4pt] d & e & f\\[4pt] g & h & i \end{pmatrix}
a regra diz:
\det = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh.
Aqui cada termo é o produto de três entradas ao longo de diagonais “para a frente” (positivos) ou “para trás” (negativos).]

Passo 3

Aplicando a regra aos valores dados, calculamos primeiro os três produtos positivos:
aei = 3\cdot5\cdot4 = 60,
bfg = 4\cdot1\cdot2 = 8,
cdh = 2\cdot1\cdot3 = 6.

Passo 4

Somando os termos positivos:
\text{soma positiva} = 60 + 8 + 6 = 74.

Passo 5

Agora os três produtos negativos:
ceg = 2\cdot5\cdot2 = 20,
bdi = 4\cdot1\cdot4 = 16,
afh = 3\cdot1\cdot3 = 9.

Passo 6

Somando os termos negativos:
\text{soma negativa} = 20 + 16 + 9 = 45.

Passo 7

O determinante é a diferença entre a soma positiva e a soma negativa:
\det = 74 - 45 = 29.
Isso significa que o determinante da matriz dada é \,29. Força aí — sempre que calcular determinantes pequeno assim, Sarrus é rápido e confiável.

Passo 8

(verificação por cofactores, útil para a prova) Expandindo pela primeira linha temos:
\det = 3\cdot\begin{vmatrix}5 & 1\\[4pt]3 & 4\end{vmatrix} -4\cdot\begin{vmatrix}1 & 1\\[4pt]2 & 4\end{vmatrix} +2\cdot\begin{vmatrix}1 & 5\\[4pt]2 & 3\end{vmatrix}.
Calcule os menores:
\begin{vmatrix}5 & 1\\[4pt]3 & 4\end{vmatrix}=5\cdot4-1\cdot3=20-3=17,
\begin{vmatrix}1 & 1\\[4pt]2 & 4\end{vmatrix}=1\cdot4-1\cdot2=4-2=2,
\begin{vmatrix}1 & 5\\[4pt]2 & 3\end{vmatrix}=1\cdot3-5\cdot2=3-10=-7.
Substituindo:
\det = 3\cdot17 - 4\cdot2 + 2\cdot(-7) = 51 - 8 - 14 = 29,
confirmando o resultado. Boa checagem para a prova!]

Resposta

29

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