Calcule os determinantes: \left|\begin{array}{ll}x & y \\\ y & x\end{array}\right|
Passo 1
O enunciado pede para calcular o determinante da matriz 2\times2
\begin{pmatrix} x & y \\[4pt] y & x \end{pmatrix}.
Informações dadas:
Os elementos da matriz são \;x\; e \;y\; (presumivelmente números reais ou complexos).
A única pergunta é: qual o valor do determinante dessa matriz?]
Passo 2
Fórmula básica: para qualquer matriz 2\times2
\begin{pmatrix} a & b \\[4pt] c & d \end{pmatrix}
o determinante é dado por
\det\begin{pmatrix} a & b \\[4pt] c & d \end{pmatrix} = ad - bc.
Explicando essa fórmula de forma simples: multiplica-se os elementos da diagonal principal (a por d) e subtrai-se o produto dos elementos da diagonal secundária (b por c). Essa é a definição direta do determinante para 2\times2 e é muito útil para cálculos rápidos na prova.]
Passo 3
Aplicando a fórmula ao caso dado: aqui a=x, b=y, c=y e d=x. Substituindo na expressão ad-bc obtemos
\det\begin{pmatrix} x & y \\[4pt] y & x \end{pmatrix} = x\cdot x - y\cdot y.
Fazendo as multiplicações:
x\cdot x = x^{2},\qquad y\cdot y = y^{2},
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\det = x^{2} - y^{2}.]
Passo 4
Podemos simplificar/interpretar melhor usando a identidade conhecida diferença de quadrados:
x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y).
Isso é útil porque dá informação imediata sobre quando o determinante é zero: exatamente quando \;x-y=0\; (isto é, x=y) ou quando \;x+y=0\; (isto é, x=-y).
Passo 5
Interpretação importante para prova/prática:
Se \det\neq0 (ou seja, x\neq y e x\neq -y), a matriz é invertível.
Se \det=0 (ou seja, x=y ou x=-y), a matriz é singular (não tem inversa).
Exemplo numérico rápido para fixar: se x=3 e y=1, então \det=3^{2}-1^{2}=9-1=8.