Calcule os determinantes:
\left|\begin{array}{rrrr}2 & 3 & 0 & -1 \\\\ 5 & -6 & 2 & 4 \\\\ 2 & -1 & 0 & 3 \\\\ 3 & 2 & 1 & 5\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 & -1 \\[6pt] 5 & -6 & 2 & 4 \\[6pt] 2 & -1 & 0 & 3 \\[6pt] 3 & 2 & 1 & 5 \end{pmatrix}.
O conteúdo que vamos usar é a expansão de Laplace (cofatores) para simplificar o cálculo de um determinante 4×4.]

Passo 2

Observamos que a terceira coluna de A é \bigl(0,2,0,1\bigr)^T, com apenas duas entradas não nulas. Então fazemos a expansão de Laplace pela terceira coluna:
\det(A) = \sum_{i=1}^4 (-1)^{i+3}\,a_{i3}\,\det(M_{i3}) = (-1)^{2+3} \cdot 2\;\det(M_{23}) +(-1)^{4+3}\cdot 1\;\det(M_{43}),
ou seja
\det(A) = -2\,\det(M_{23}) \;-\;\det(M_{43}).

Passo 3

Vamos calcular \det(M_{23}), que é o menor obtido eliminando a linha 2 e a coluna 3 de A. Isso gera
M_{23} = \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \\[4pt] 2 & -1 & 3 \\[4pt] 3 & 2 & 5 \end{pmatrix}.
Usando a regra de Sarrus ou cofatores para 3×3, temos
\det(M_{23}) = 2\bigl((-1)\cdot5 - 3\cdot2\bigr) -3\bigl(2\cdot5 - 3\cdot3\bigr) +(-1)\bigl(2\cdot2 -(-1)\cdot3\bigr).
Então
\det(M_{23}) = 2(-5 - 6) \;-\;3(10 - 9)\;-\;(4 + 3) = 2(-11)-3\cdot1 -7 = -22 -3 -7 = -32.]

Passo 4

Agora \det(M_{43}) é o menor ao eliminar a linha 4 e a coluna 3 de A, ou seja
M_{43} = \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \\[4pt] 5 & -6 & 4 \\[4pt] 2 & -1 & 3 \end{pmatrix}.
Calculando seu determinante:
\det(M_{43}) = 2\bigl((-6)\cdot3 - 4\cdot(-1)\bigr) -3\bigl(5\cdot3 - 4\cdot2\bigr) +(-1)\bigl(5\cdot(-1) -(-6)\cdot2\bigr).
Logo
\det(M_{43}) = 2(-18 +4) \;-\;3(15 -8)\;-\;( -5 +12) = 2(-14)-3\cdot7 -7 = -28 -21 -7 = -56.]

Passo 5

Substituindo em \det(A) = -2\,\det(M_{23}) - \det(M_{43}), vem
\det(A) = -2\bigl(-32\bigr) - \bigl(-56\bigr) = 64 + 56 = 120.

Resposta

120

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