Calcule os determinantes das matrizes:
\left(\begin{array}{ccc}\operatorname{sen} \alpha & \cos \alpha & 1 \\\ \operatorname{sen} \beta & \cos \beta & 1 \\\ \operatorname{sen} \gamma & \cos \gamma & 1\end{array}\right);

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos.
  • Pede: calcular o determinante da matriz
\begin{pmatrix} \sin\alpha & \cos\alpha & 1 \\\ \sin\beta & \cos\beta & 1 \\\ \sin\gamma & \cos\gamma & 1 \end{pmatrix}.
  • Informações dadas: os ângulos \alpha,\beta,\gamma aparecem como argumentos das funções seno e cosseno nas entradas da matriz. Não há valores numéricos específicos: o resultado deve ficar em termos de \alpha,\beta,\gamma.
  • Objetivo claro: obter uma expressão fechada para o determinante em termos de \alpha,\beta,\gamma.

Passo 2

Escolha do método (explicando rapidamente por que).
  • Método usado: operações elementares em linhas para simplificar a matriz e depois desenvolver o determinante por uma linha/coluna (expansão) ou calcular um determinante 2\times2.
  • Por que isso funciona: subtrair uma linha de outra não altera o valor do determinante (essa é uma propriedade básica dos determinantes). Aqui isso vai criar zeros que facilitam a expansão.

Passo 3

Aplicar a operação de linha e escrever a nova matriz.
  • Faço L_1 \leftarrow L_1 - L_3 e L_2 \leftarrow L_2 - L_3. Essas operações não alteram o determinante.
  • Então a matriz fica
\begin{pmatrix} \sin\alpha-\sin\gamma & \cos\alpha-\cos\gamma & 0 \\\ \sin\beta-\sin\gamma & \cos\beta-\cos\gamma & 0 \\\ \sin\gamma & \cos\gamma & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Usar expansão pelo desenvolvimento de Laplace na terceira coluna.
  • Como os dois primeiros elementos da terceira coluna são 0, ao expandir o determinante por essa coluna só sobra o cofator relativo à terceira linha, terceira coluna.
  • Logo o determinante original D é o determinante do menor 2\times2 formado pelos dois primeiros elementos das duas primeiras linhas:
D = \det\begin{pmatrix} \sin\alpha-\sin\gamma & \cos\alpha-\cos\gamma \\\ \sin\beta-\sin\gamma & \cos\beta-\cos\gamma \end{pmatrix}.

Passo 5

Calcular o determinante 2\times2 usando a fórmula \det\begin{pmatrix} a & b \\\ c & d \end{pmatrix} = ad-bc.
  • Aplicando:
\begin{aligned} D &= (\sin\alpha-\sin\gamma)(\cos\beta-\cos\gamma) \\\ &\quad - (\cos\alpha-\cos\gamma)(\sin\beta-\sin\gamma). \end{aligned}

Passo 6

Expandir os produtos e agrupar termos para facilitar o reconhecimento de identidades trigonométricas.
  • Expandindo termo a termo:
\begin{aligned} D &= \sin\alpha\cos\beta - \sin\alpha\cos\gamma - \sin\gamma\cos\beta + \sin\gamma\cos\gamma \\\ &\quad - \bigl(\cos\alpha\sin\beta - \cos\alpha\sin\gamma - \cos\gamma\sin\beta + \cos\gamma\sin\gamma\bigr). \end{aligned}
  • Observe que \sin\gamma\cos\gamma - \cos\gamma\sin\gamma = 0, então esses dois termos se anulam.

Passo 7

Reconhecer a identidade de diferença de ângulos para o seno.
  • Identidade básica (importantíssima): para quaisquer x,y,
\sin x\cos y - \cos x\sin y = \sin(x-y).
  • Vamos aplicar essa identidade aos pares de termos apropriados no desenvolvimento acima.

Passo 8

Aplicar a identidade aos grupos correspondentes e simplificar.
  • Agrupando conforme a identidade, vemos:
\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta = \sin(\alpha-\beta),
- \sin\alpha\cos\gamma + \cos\alpha\sin\gamma = -\sin(\alpha-\gamma),
- \sin\gamma\cos\beta + \cos\gamma\sin\beta = -\sin(\gamma-\beta).
  • Portanto
D = \sin(\alpha-\beta) - \sin(\alpha-\gamma) - \sin(\gamma-\beta).

Passo 9

Reescrever a expressão de forma cíclica e mais simétrica.
  • Note que -\sin(\gamma-\beta)=\sin(\beta-\gamma) e -\sin(\alpha-\gamma)=\sin(\gamma-\alpha). Então podemos reorganizar:
D = \sin(\alpha-\beta)+\sin(\beta-\gamma)+\sin(\gamma-\alpha).
  • Esta é uma forma bem simétrica e frequentemente usada como resposta final.

Passo 10

(Complemento opcional — fatorização em produto) Mostrar uma forma alternativa útil.
  • Como observação extra (útil em provas às vezes), como (\alpha-\beta)+(\beta-\gamma)+(\gamma-\alpha)=0, vale a identidade
\sin u+\sin v+\sin w = -4\sin\frac{u}{2}\sin\frac{v}{2}\sin\frac{w}{2} \quad\text{quando }u+v+w=0.
  • Aplicando com u=\alpha-\beta,\;v=\beta-\gamma,\;w=\gamma-\alpha obtém-se a forma fatorada
D = -4\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\sin\frac{\beta-\gamma}{2}\sin\frac{\gamma-\alpha}{2}.

Resposta

\sin(\alpha-\beta)+\sin(\beta-\gamma)+\sin(\gamma-\alpha)

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