Calcule os determinantes das matrizes:
\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & -6 & -2 \\ 4 & 7 & 4 & 4 \\ -2 & -2 & 1 & -2 \\ -4 & -7 & 0 & -1\end{array}\\right).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz 4\times4 abaixo. A matriz fornecida é:
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -6 & -2 \\\\ 4 & 7 & 4 & 4 \\\\ -2 & -2 & 1 & -2 \\\\ -4 & -7 & 0 & -1 \end{pmatrix}
A única pergunta é: qual é \det(A)?

Passo 2

Vou explicar um método claro e prático para calcular \det(A). Uma maneira fácil quando há zeros ou números pequenos em alguma coluna é usar a expansão por cofatores nessa coluna. Lembrete rápido do conceito:
  • Para uma matriz n\times n, o determinante pode ser calculado por expansão em uma coluna j:
\det(A)=\sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j}\,a_{ij}\,M_{ij},
onde a_{ij} é o elemento da matriz na linha i e coluna j, e M_{ij} é o determinante do menor (n-1)\times(n-1) obtido removendo a linha i e a coluna j. O fator C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} é chamado de cofator.
  • Para um determinante 3\times3 (que surgirá nos menores), pode-se calcular usando a regra de Sarrus ou expansão por menores 2\times2. Lembrete do determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix} a & b \\\ c & d \end{pmatrix}=ad-bc.
Aqui há um zero na coluna 3 (elemento a_{43}=0), então escolho expandir por essa coluna (coluna 3) para reduzir o trabalho.

Passo 3

Escrevendo a expansão de \det(A) pela coluna 3 (coluna com índices j=3):
\det(A)=\sum_{i=1}^{4} (-1)^{i+3} a_{i3} M_{i3}.
Os elementos da coluna 3 são a_{13}=-6, a_{23}=4, a_{33}=1, a_{43}=0. Como a_{43}=0, cai um termo. Assim:
\det(A) = (-1)^{1+3}(-6)M_{13} + (-1)^{2+3}(4)M_{23} + (-1)^{3+3}(1)M_{33}.
Calculando os sinais (-1)^{1+3}=1, (-1)^{2+3}=-1, (-1)^{3+3}=1, obtemos:
\det(A) = -6\,M_{13} -4\,M_{23} + 1\cdot M_{33}.
Agora vou calcular os menores M_{13}, M_{23} e M_{33}. Cada M_{i3} é um determinante 3\times3.

Passo 4

Calcular M_{13}: remover linha 1 e coluna 3. O menor é a matriz 3\times3
\begin{pmatrix} 4 & 7 & 4 \\\\ -2 & -2 & -2 \\\\ -4 & -7 & -1 \end{pmatrix}.
Vou calcular seu determinante por expansão pela primeira linha (ou usar diretamente a fórmula de 3\times3). Usando expansão pela primeira linha:
M_{13}=4\cdot\det\begin{pmatrix}-2 & -2 \\\\ -7 & -1\end{pmatrix} -7\cdot\det\begin{pmatrix}-2 & -2 \\\\ -4 & -1\end{pmatrix} +4\cdot\det\begin{pmatrix}-2 & -2 \\\\ -4 & -7\end{pmatrix}.
Agora os determinantes 2\times2:
\det\begin{pmatrix}-2 & -2 \\\\ -7 & -1\end{pmatrix}=(-2)(-1)-(-2)(-7)=2-14=-12,
\det\begin{pmatrix}-2 & -2 \\\\ -4 & -1\end{pmatrix}=(-2)(-1)-(-2)(-4)=2-8=-6,
\det\begin{pmatrix}-2 & -2 \\\\ -4 & -7\end{pmatrix}=(-2)(-7)-(-2)(-4)=14-8=6.
Substituindo:
M_{13}=4\cdot(-12)-7\cdot(-6)+4\cdot6=-48+42+24=18.

Passo 5

Calcular M_{23}: remover linha 2 e coluna 3. O menor é
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\\\ -2 & -2 & -2 \\\\ -4 & -7 & -1 \end{pmatrix}.
Expansão pela primeira linha:
M_{23}=1\cdot\det\begin{pmatrix}-2 & -2 \\\\ -7 & -1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}-2 & -2 \\\\ -4 & -1\end{pmatrix} +(-2)\cdot\det\begin{pmatrix}-2 & -2 \\\\ -4 & -7\end{pmatrix}.
Reaproveitando os 2\times2 calculados no passo anterior (os mesmos sub-determinantes aparecem):
\det\begin{pmatrix}-2 & -2 \\\\ -7 & -1\end{pmatrix}=-12,\qquad \det\begin{pmatrix}-2 & -2 \\\\ -4 & -1\end{pmatrix}=-6,\qquad \det\begin{pmatrix}-2 & -2 \\\\ -4 & -7\end{pmatrix}=6.
Substituindo:
M_{23}=1\cdot(-12)-1\cdot(-6)+(-2)\cdot6=-12+6-12=-18.

Passo 6

Calcular M_{33}: remover linha 3 e coluna 3. O menor é
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\\\ 4 & 7 & 4 \\\\ -4 & -7 & -1 \end{pmatrix}.
Expansão pela primeira linha:
M_{33}=1\cdot\det\begin{pmatrix}7 & 4 \\\\ -7 & -1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}4 & 4 \\\\ -4 & -1\end{pmatrix} +(-2)\cdot\det\begin{pmatrix}4 & 7 \\\\ -4 & -7\end{pmatrix}.
Calcular os 2\times2:
\det\begin{pmatrix}7 & 4 \\\\ -7 & -1\end{pmatrix}=7\cdot(-1)-4\cdot(-7)=-7+28=21,
\det\begin{pmatrix}4 & 4 \\\\ -4 & -1\end{pmatrix}=4\cdot(-1)-4\cdot(-4)=-4+16=12,
\det\begin{pmatrix}4 & 7 \\\\ -4 & -7\end{pmatrix}=4\cdot(-7)-7\cdot(-4)=-28+28=0.
Substituindo:
M_{33}=1\cdot21-1\cdot12+(-2)\cdot0=21-12+0=9.

Passo 7

Agora voltar à expressão da expansão pela coluna 3:
\det(A) = -6\,M_{13} -4\,M_{23} + M_{33}.
Substituindo os valores encontrados M_{13}=18, M_{23}=-18, M_{33}=9:
\det(A) = -6\cdot18 -4\cdot(-18) + 9.
Fazendo as contas:
-6\cdot18=-108,\qquad -4\cdot(-18)=+72,
logo
\det(A) = -108 + 72 + 9 = -27.

Resposta

-27

Exercícios relacionados