Vou explicar um método claro e prático para calcular \det(A). Uma maneira fácil quando há zeros ou números pequenos em alguma coluna é usar a expansão por cofatores nessa coluna. Lembrete rápido do conceito:
Para uma matriz n\times n, o determinante pode ser calculado por expansão em uma coluna j:
onde a_{ij} é o elemento da matriz na linha i e coluna j, e M_{ij} é o determinante do menor (n-1)\times(n-1) obtido removendo a linha i e a coluna j. O fator C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} é chamado de cofator.
Para um determinante 3\times3 (que surgirá nos menores), pode-se calcular usando a regra de Sarrus ou expansão por menores 2\times2. Lembrete do determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix} a & b \\\ c & d \end{pmatrix}=ad-bc.
Aqui há um zero na coluna 3 (elemento a_{43}=0), então escolho expandir por essa coluna (coluna 3) para reduzir o trabalho.
Passo 3
Escrevendo a expansão de \det(A) pela coluna 3 (coluna com índices j=3):
\det(A)=\sum_{i=1}^{4} (-1)^{i+3} a_{i3} M_{i3}.
Os elementos da coluna 3 são a_{13}=-6, a_{23}=4, a_{33}=1, a_{43}=0. Como a_{43}=0, cai um termo. Assim: