Calcule os determinantes das matrizes a seguir utilizando a Expansão de Laplace:
\left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & 3 \\\\ 4 & 0 & 1 \\\\ 5 & 2 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do determinante da matriz
A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3\\\\ 4 & 0 & 1\\\\ 5 & 2 & 0 \end{pmatrix}
usando a Expansão de Laplace. Vamos aplicar a definição de co­fator, escolhendo uma linha ou coluna para expandir e calcular os menores correspondentes.

Passo 2

Para simplificar, expandimos pela segunda linha de A, pois ela contém um zero e gera menos termos. A fórmula de Laplace diz que
\det(A)=\sum_{j=1}^{3}(-1)^{2+j}\,a_{2j}\,\det\bigl(M_{2j}\bigr),
onde a_{2j} é o elemento da segunda linha e M_{2j} é o menor obtido ao remover linha 2 e coluna j.

Passo 3

Cálculo do termo para j=1:
O elemento é a_{21}=4 e
M_{21}=\begin{pmatrix}-1 & 3\\[4pt]2 & 0\end{pmatrix},
cujo determinante é
\det(M_{21})=(-1)\cdot0 - 3\cdot2 = -6.
O sinal do co­fator é (-1)^{2+1}=-1, então o termo contribui com
(-1)\cdot4\cdot(-6)=24.]

Passo 4

Cálculo do termo para j=3:
O elemento é a_{23}=1 e
M_{23}=\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]5 & 2\end{pmatrix},
cujo determinante é
\det(M_{23})=2\cdot2 - (-1)\cdot5 = 4+5 = 9.
O sinal do co­fator é (-1)^{2+3}=-1, e o termo é
(-1)\cdot1\cdot9 = -9.]

Passo 5

Somando os termos não nulos da expansão pela segunda linha, obtemos
\det(A)=24 + (-9) = 15.

Resposta

15

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