Calcule os determinantes das matrizes a seguir utilizando a Expansão de Laplace:
\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 2 \\\\ 3 & 4 & 5 \\\\ 6 & 7 & 8\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\\\ 3 & 4 & 5 \\\\ 6 & 7 & 8 \end{pmatrix}
e orienta usar a Expansão de Laplace. Este conteúdo envolve definir menores, cofatores e somar os produtos dos elementos de uma linha (ou coluna) pelos seus cofatores.

Passo 2

Vamos expandir pelo elemento a_{11}=0, a_{12}=1 e a_{13}=2 da primeira linha. A fórmula é
\det(A) \;=\;\sum_{j=1}^{3} a_{1j}\,C_{1j},
onde o cofactor C_{1j} = (-1)^{1+j}M_{1j} e M_{1j} é o determinante do menor obtido ao riscar a linha 1 e a coluna j.

Passo 3

Calculamos cada menor e seu cofactor:
M_{12} = \det\begin{pmatrix}3 & 5 \\\\ 6 & 8\end{pmatrix} = 3\cdot 8 \;-\;5\cdot 6 = 24 - 30 = -6,
C_{12} = (-1)^{1+2}\,M_{12} = -1\cdot(-6) = 6.
M_{13} = \det\begin{pmatrix}3 & 4 \\\\ 6 & 7\end{pmatrix} = 3\cdot 7 \;-\;4\cdot 6 = 21 - 24 = -3,
C_{13} = (-1)^{1+3}\,M_{13} = +1\cdot(-3) = -3.
O termo a_{11}=0 não contribui à soma.

Passo 4

Agora somamos as contribuições:
\det(A) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13} = 0 + 1\cdot 6 + 2\cdot(-3) = 6 - 6 = 0.

Resposta

O determinante da matriz é 0.

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